关于约瑟夫环这个问题，我前一篇文章给出的算法，时间复杂度已经达到O[n]，已经是一个相当不错的算法了。
然而我在网上看到Tank_long网友的博文，他在O[n]的基础上把时间复杂度又进一步下降了，而且在某些条件下极大的降低了复杂度。
虽然不知道是不是这位网友原创的算法，但是这么优秀的算法，我们又岂能错过呢？那么下面就听我缓缓道来~
我就在上一篇文章的基础之上继续往下扩展（忘记了的朋友可以回头看一下哈，链接）
这个优化算法的出发点呢，是基于当 k 小于 n 的时候，就会有这样一个情况：
0,1,...,k-1,k,...,2k-1,2k,...,3k-1,3k,...,n-1在这个数列一遍遍历完后，我们发现已经从中剔除了 n/k 个数据，假如我们能够找到 F[n] 与 F[n-n/k] 之间的关系，那就能够大大减少计算量了。结论当然是肯定的喽，那我们就来找找他们之间的关系。
我们先假设 m=n/k ，把 m 个数选中的数（k-1,2k-1,...,mk-1）从数列中剔除,以mk为起始点重新排成长度为 n-m 的数列，如下：
mk,...,n-1,0,1,..,k,...,2k,...,mk-2我们假设已经知道F[n-m]的值，即 F[n-m]=P 。我们只需要找到上面数列的第 P 位的值，就是我们需要的 F[n]。
可能会想到（mk+P）mod n 这个之前算法给出的计算方式，但实际上由于中间缺了（k-1,2k-1,...,(m-1)k-1）实际上 第P对应的值可能会比（mk+P）mod n 多上几位，所以正确的公式是这样的：
F[1]=0;
m=n/k;
if((F[n-m]+m*k-n)>0)
F[n]=(F[n-m]+m*k-n)/(k-1) +F[n-m]+m*k-n;
else
F[n]=F[n-m]+m*k;直接看可能有点蒙，我稍微解释一下，由于当 P< n mod k（n mod k=n-mk）时，不会遇到缺失的几个数值,所以直接加上mk即可。
用k-1而不是k，因为每次数数去掉第k个数后剩下就是k-1个数了啊。
希望你们能理解，看不懂也可以参考Tank_long网友的博文。上代码：
int Fun(int n, int k) {
if (k < n) {
int res = Fun3(n - n / k, k);
if (res < n%k) {
res = res + n - n%k;
}
else {
res = res + (res - n%k) / (k - 1) +k*(int)(n/k)-n;
}
return res;
}
else {
return Fun2( k,n);
}
}int Fun2(int k,int n) {
int x = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
x = (x + k) % (i+1);
}
return x;
} int x = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
x = (x + k) % (i+1);
}
return x;
}代码量很少，上面的公式也解释的很清楚了，我也不再加注释了哦。
注意一下，这个仅仅是在k<n的情况下才能用到，但也大大提高了运算速度。当k>=n时，还是按照前一篇文章的算法（也就是函数Fun2）来计算，可以自行考虑下为什么。
如果你有什么更好的方法，希望也能够分享出来，谢谢阅读~~
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尝试对k>=n 的情况做优化，但是实际效果并不是很理想，可以大大减少时间复杂度，但是中间的过程花费的计算时间和空间占有量增大了。得不偿失。有兴趣的朋友也可以研究一下～顺便有机会也可以互相探讨一下～
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研究k>=n 解决方案时，顺便又在网上搜罗了一番，又找到了一种优化算法。优化效果和上面给出的方法差不多，我这里简单介绍一下，具体可以参考这篇转载的文章。
实际上是对我在上面写的Fun2函数的优化。具体思路是考虑到其中的一行代码：
x = (x + k) % (i+1);当（x+k）< (i+1) 时，x=x+k。而同时可能会存在（x+ak）< (i+a)的情况，假如我们直接能够算出a，那么就可以少循环a-1次。这样也就能进一步提高运算速度。思路类似与上面的Fun函数，这个好处在于不需要用递归来做，相对更容易理解。
通过 （x+ak）=(i+a),我们可以求出a的值：
a=(i-x)/(k-1)注意1，k=1时，（k-1）=0，所以我们要先判断 k>1，把1的情况拿出来单独处理。
注意2，a算出来不一定是整数，我们把它转成整型即可。
注意3，i+a 可能大于 n ，这时我们需要比较一下大小，把大于n的部分去掉：
if(i+a>n){
a=n-i;
}好了，废话不多说，上代码！
int Fun3(int n,int k) {
if (k > 1) {
int x = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
if ((x + k) < (i + 1)) {
int a = (i - x) / (k - 1);
if (a + i >= n) {
a = n - i;
}
x = (x + k*a) % (i + j);
i += a - 1;
}
else {
x = (x + k) % (i + 1);
}
}
return x;
}
else {
return n-1;
}
}实际上可以看出来，具体的思路和前面的是一样的，只是实现方式不同罢了。
嘛，，，同样没有解决k>n的情况。没关系，算法这玩意，也不是一时半会就能优化的。继续努力~~