秦九韶算法求多项式某一点处的值或导数

设法减少算法中乘法或加法的数量，是提升算法性能的方法之一。秦九韶算法就是其中的范例。
设给定多项式

$$p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n \tag{1}$$

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求$x^{*}$处的函数值$p(x^*)$

我们采用以下方法：

$$p(x)=(\cdots(a_0x+a_1)x+\cdots+a_{n-1})x+a_n$$
它可以表示为
$$\begin{cases} b_0 = a_0 \\ b_i = b_{i-1}x^* + a_i, \quad i=1,2,\cdots, n \\ \end{cases} \tag{2}$$

则$b_n = p(x^*)$为所求。

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求多项式$p(x)$在$x^{*}$处的导数值$p'(x^*)$

由（2）式得$a_i=b_i - b_{i-1}x^*$,代入（1）式并化简

$$p(x) = (x-x^*)(b_0\cdot x^{n-1}+\cdots+b_{n-2}\cdot x+b_{n-1})+b_n$$
记 $q(x)=b_0\cdot x^{n-1}+\cdots+b_{n-2}\cdot x+b_{n-1}$,则有
$$p(x) = (x-x^*)q(x)+p(x^*)$$
这个实际上是 余数定理的结论
对上式求导
$$p'(x)=q(x)+(x-x^*)q'(x)$$
代入 $x=x^*$得
$$p'(x^*)=q(x^*)$$