黑塞矩阵（海森矩阵，Hessian Matrix）与牛顿法最优化

黑塞矩阵

$~~~~~~~~$黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

$~~~~~~~~$在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下：

$$f({x_1},{x_2} \ldots ,{x_n})$$
如果 $f$的所有二阶导数都存在, 那么 $f$的海森矩阵即:
$$H{(f)_{ij}}(x) = {D_i}{D_j}f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} (1)$$
其中 $x = ({x_1},{x_2} \ldots ,{x_n})$

$~~~~~~~~$将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数，则$f(x_1,x_2,...,x_n)$在$X^{(0)}$点处的泰勒展开的矩阵形式为：

$$f(X) = f(X^{(0)}) + \nabla f(X^{(0)})^T \nabla X + \frac{1}{2} \nabla X^T G(X^{(0)})\nabla X + ...$$
其中：
（1） $\nabla f(X^{(0)}) = [\frac{ \partial f}{\partial x_1} ,\frac{ \partial f}{\partial x_2},\frac{ \partial f}{\partial x_n}]|_{X^{(0)}} ^T$,它是 $f(X)$在 $X(0)$点处的梯度。
（2） $G(X^{(0)})$就是上面的式子（1），为函数 $f(X)$ 在 $X^{(0)}$点处的黑塞矩阵。
黑塞矩阵是由目标函数 $f$在点X处的二阶偏导数组成的 $n*n$阶对称矩阵。

Hessian矩阵判断

（1）如果是正定矩阵，则临界点处是一个局部极小值

（2）如果是负定矩阵，则临界点处是一个局部极大值

（3）如果是不定矩阵，则临界点处不是极值

实二次型矩阵为正定二次型的判断方法

判断一个矩阵是否是正定方法 ：

1、顺序主子式：实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的各顺序主子式都大于零。

2、特征值：矩阵的特征值全大于零，矩阵为正定。矩阵的特征值全小于零，矩阵为负定。否则是不定的。

牛顿法参考如下：

Jacobian矩阵和Hessian阵 — 讲解hessian及其求解应用

Hessian应用

Hessian矩阵以及在图像中的应用
图像处理之Hessian矩阵提取关键点