卷积神经网络CNN的反向传播原理

回顾

　　上一篇博客《详解神经网络的前向传播和反向传播》推导了普通神经网络（多层感知器）的反向传播过程，这篇博客参考刘建平Pinard 《卷积神经网络(CNN)反向传播算法》对卷积神经网络中反向传播的不同之处进行了讨论。
　　我们先简单回顾一下普通神经网络（DNN）中反向传播的四个核心公式：

$$\delta_j^L=\frac{\partial C}{\partial z_j^L}=\frac{\partial C}{\partial a_j^L}\frac{\partial a_j^L}{\partial z_j^L}=\frac{\partial C}{\partial a_j^L}\sigma'(z_j^L) \tag{BP1}$$ $$\delta^l=((w^{l+1})^T\delta^{l+1})\odot \sigma'(z^l) \tag{BP2}$$ $$\frac{\partial C}{\partial b_j^l}=\frac{\partial C}{\partial z_j^l}\frac{\partial z_j^l}{\partial b_j^l}=\frac{\partial C}{\partial z_j^l}=\delta_j^l \tag{BP3}$$ $$\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l}=\frac{\partial C}{\partial z_j^l}\frac{\partial z_j^L}{\partial w_{jk}^l}=\frac{\partial C}{\partial z_j^l}a_k^{l-1}=a_k^{l-1}\delta_j^l \tag{BP4}$$ 只要计算出 $\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l}$和 $\frac{\partial C}{\partial b_j^l}$就能使用梯度下降算法对网络进行训练了。

问题提出

　　那么我们能不能直接在CNN上直接套用DNN的传播算法呢？当然不能，不然我也不会写这篇博客了嘿嘿。我们先从最直观的网络结构的角度来分析一下。
1. 全连接层
　　CNN中的全连接层和DNN层结构完全一致，这个可以照搬。
2. 池化层
　　池化层简而言之就是利用feature map的统计特征来代表这块区域。如下图所示，可以利用红色区域的均值、最大值、最小值等统计量来代表该块红色区域，一方面引入了平移不变性（这个在另外一篇博客中讲），一方面减少了参数数量。但是我们在反向传播时，知道右边$2\times2$区域的$\delta^l$的情况下，如何计算左边完整区域的$\delta^{l-1}$?而且池化层一般没有激活函数，这个问题怎么处理？

3. 卷积层
　　卷积层是通过张量卷积，或者说是若干个矩阵卷积求和而得到当前层的输出，这和DNN直接进行矩阵乘法有很大区别，那么如何递推相应的 $\delta^{l-1}$呢？

4. 反卷积层和BN层
　　这个日后弄懂再补上来。

池化层的反向传播

　　池化层没有激活函数可以直接看成用线性激活函数，即$\sigma(z)=z$，所以$\sigma'(z)=1$。接下来看看池化层如何递推$\delta^l$。
　　在前向传播时，我们一般使用max或average对输入进行池化，而且池化区域大小已知。反向传播就是要从缩小后的误差$\delta^{l+1}$，还原池化前较大区域对应的误差$\delta^l$。根据（BP2），$\delta^l=((w^{l+1})^T\delta^{l+1})\odot \sigma'(z^l)$，在DNN中$w^{l+1}$是已知的，所以我们可以直接通过矩阵乘法将$l+1$层的误差映射回$l$层的误差，但对于池化层，要求$(w^{l+1})^T\delta^{l+1}$就需要一些特殊的操作了。
　　用一个例子可以很清楚的解释这一过程：假设现在我们是步长为1的$2\times 2$池化，$4 \times 4$大小的区域经过池化后变为$2\times 2$。如果$\delta_l$的第k个子矩阵为：

$$\delta_k^{l+1}=\left[ \begin{matrix}2 & 8\\4 & 6 \end{matrix} \right]$$ 首先我们要确定 $\delta_k^{l+1}$中4个误差值分别和原来 $4\times 4$大小的哪个子区域所对应，根据前向传播中池化窗口的移动过程，我们可以很轻松的确定2对应左上角 $2\times 2$的区域，8对应右上角 $2\times 2$的区域，以此类推。这一步完成之后，我们就要对不同类型的池化进行不同的操作。
　　如果是max pooling，我们只需要记录前向传播中最大值的位置，然后将误差放回去即可。如果最大值位置分别为 $2\times 2$的左上，右下，右上，左下，还原后的矩阵为：
$$(w^{l+1})^T\delta^{l+1}=\left[ \begin{matrix}2&0&0&0\\0&0&0&8\\0&4&0&0\\0&0&6&0 \end{matrix} \right]$$
　　如果是average pooing，我们只需要将池化单元的误差平均值放回原来的子矩阵即可：
$$(w^{l+1})^T\delta^{l+1}=\left[ \begin{matrix}0.5&0.5&2&2\\0.5&0.5&2&2\\1&1&1.5&1.5\\1&1&1.5&1.5 \end{matrix} \right]$$ 可以发现这其实就是将上一层的误差进行一次池化的逆操作，还是比较容易理解的。
　　得到了 $(w^{l+1})^T\delta^{l+1}$之后就可以利用 $\delta^l=((w^{l+1})^T\delta^{l+1})\odot \sigma'(z^l)$求得 $\delta_k^l$了。

卷积层的反向传播

　　继续回到方程（BP2），$\delta^l=((w^{l+1})^T\delta^{l+1})\odot \sigma'(z^l)$，那你可能会问，之前说池化层因为$w^{l+1}$无法直接计算，所以需要特殊操作，那么卷积核的参数不是知道吗，岂不是可以直接代入计算了。是带进去计算没错，但是权重矩阵需要旋转180°。为什么呢，下面以一个简单的例子说明。
　　假设$l$层的激活输出是一个$3\times 3$的矩阵，第$l+1$层卷积核$W^{l+1}$是一个$2\times 2$的矩阵，卷积步长为1，则输出$z^{l+1}$是一个$2\times 2$的矩阵。我们简化$b^l=0$，则有：

$$z^{l+1}=a^l*W^{l+1} \tag{1}$$ 列出 $a$， $W$， $z$的矩阵表达式如下： $$\left[ \begin{matrix} z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} w_{11}&w_{12}\\w_{21}&w_{22}\end{matrix} \right] \tag{2}$$ 利用卷积的定义，很容易得出： $$z_{11}=a_{11}w_{11}+a_{12}w_{12}+a_{21}w_{21}+a_{22}w_{22}\\z_{12}=a_{12}w_{11}+a_{13}w_{12}+a_{22}w_{21}+a_{23}w_{22}\\z_{21}=a_{21}w_{11}+a_{22}w_{12}+a_{31}w_{21}+a_{32}w_{22}\\z_{22}=a_{22}w_{11}+a_{23}w_{12}+a_{32}w_{21}+a_{33}w_{22} \tag{3}$$ 接下来我们计算 $\frac{\partial C}{\partial a^l}$： $$\nabla a^l=\frac{\partial C}{\partial a^l}=\frac{\partial C}{\partial z^{l+1}}\frac{\partial z^{l+1}}{\partial a^l}=\delta^{l+1}\frac{\partial z^{l+1}}{\partial a^l} \tag{4}$$ 由方程(2)可以得知， $\frac{\partial z^{l+1}}{\partial a^l}$和 $W^{l+1}$相关。假设 $$\delta^{l+1}=\left[ \begin{matrix}\delta_{11} & \delta_{12}\\ \delta_{21} & \delta_{22}\end{matrix} \right]$$ 在式（3）的4个等式中， $a_{11}$只和 $z_{11}$有关（ $z_{12},z_{21},z_{22}$表达式中均没有 $a_{11}$），所以 $$\nabla a_{11}=\delta_{11}^{l+1}\frac{\partial z_{11}^{l+1}}{\partial a_{11}^l}+\delta_{12}^{l+1}\frac{\partial z_{12}^{l+1}}{\partial a_{11}^l}+\delta_{21}^{l+1}\frac{\partial z_{21}^{l+1}}{\partial a_{11}^l}+\delta_{22}^{l+1}\frac{\partial z_{22}^{l+1}}{\partial a_{11}^l}=\delta_{11} w_{11}$$ 同理可以得到其他8个 $\nabla a$： $$\nabla a_{12}=\delta_{11}w_{12}+\delta_{12}w_{11}\\ \nabla a_{13}=\delta_{12}w_{12}\\ \nabla a_{21}=\delta_{11}w_{21}+\delta_{21}w_{11}\\ \nabla a_{22}=\delta_{11}w_{22}+\delta_{12}w_{21}+\delta_{21}w_{12}+\delta_{22}w_{11}\\ \nabla a_{23}=\delta_{12}w_{22}+\delta_{22}w_{12}\\ \nabla a_{31}=\delta_{21}w_{21}\\ \nabla a_{32}=\delta_{21}w_{22}+\delta_{22}w_{21}\\ \nabla a_{33}=\delta_{22}w_{22}$$ 其实上面的9个式子可以用一个矩阵卷积的形式统一表示：
$$\left[ \begin{matrix} \nabla a_{11}&\nabla a_{12}&\nabla a_{13}\\\nabla a_{21}&\nabla a_{22}&\nabla a_{23}\\\nabla a_{31}&\nabla a_{32}&\nabla a_{33}\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0&0&0&0\\ 0&\delta_{11} & \delta_{12}&0\\ 0&\delta_{21} & \delta_{22}&0\\0&0&0&0\end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} w_{22}&w_{21}\\w_{12}&w_{11}\end{matrix} \right] \tag{5}$$
　　为了符合梯度计算，我们在误差矩阵周围填充了一圈0，此时我们将卷积核翻转后和反向传播的梯度误差进行卷积，就得到了前一次的梯度误差，然后用（BP2）就可以得到上一层的误差。卷积层的（BP2）形式如下： $$\delta^l=(\delta^{l+1} * rot180(w^{l+1}))\odot \sigma'(z^l)$$
　　还需要注意的是，在利用（BP4）推导该层权重的梯度 $\frac{\partial C}{\partial w^l}$时，也需要进行一个旋转180°的操作： $$\frac{\partial C}{\partial w^l}=\frac{\partial C}{\partial z^l}\frac{\partial z^L}{\partial w^l}=\delta^l\frac{\partial z^L}{\partial w^l}=\delta^l*rot180(a^{l-1})$$
　　对于偏置 $b$则有些特殊，因为 $\delta^l$是3维张量，而 $b^l$只是一个一维向量，不能像DNN中那样直接 $\frac{\partial C}{\partial b^l}=\delta^l$，通常是将 $\delta^l$的各个子矩阵分别求和，得到一个误差向量，即 $b^l$的梯度：
$$\frac{\partial C}{\partial b^l}=\sum_{u,v}(\delta^l)_{u,v}$$

总结

　　虽然CNN的反向传播和DNN有所不同，但本质上还是4个核心公式的变形，思路是一样的。