多年前发表在网易博客上的文章，今天转过来。
今天刚刚完成了微软"编程之美”网上编程挑战赛。hihoCode平台上的第二个赛题就是针对此问题。刚开始思考这个问题，真的是一头雾水，摸不着道。在网上找了一下资料，发现针对这个问题的解决，网上只有台湾国立暨南大学资讯系的一位研究生的论文里面有。但是，仔细阅读完论文（全英文），才发现，他的算法用程序语言实现起来，其实真的很难。
在这里，我就把用到的所有知识、我的思路和一些查到的资料分享给大家。
方法一、（台湾的那个研究生的思路）
Step1：利用分治法或动态规划法，找到这个字符串中最长的回文子序列，记下它的长度，记为Longest。（对于求Longest的具体方法，王晓东的《算法设计与分析》这本书上有详细的解答）
Step2：然后用遍历的方法找出字符串中所有可以构成回文子序列的1—pair回文序列，如“fdsf”中的“ff”，并进行序号标记。for(i=0;i<str.length();i++) for(j=i+1;j<str.length();j++) if(str[i]==str[j]) Label[i][j]=1;（当然，所有的单字符本身是一个回文序列，1—pair回文序列中间的所有单字符又使1—pair变成1-1-1式的回文字符序列）
Step3：之后，将符合条件的1-pair不断嵌入到另一个1-pair中，直到Longest/2-pair.条件符合是指若有1-pair回文子序列（i,j）和（m,n）,当m>i&&j<n时，即可将（m,n）插入到（i,j）中，从而构成2-pair回文子序列。然后找出所有这样的可以匹配成为2-pair的回文序列。之后，再由2-pair回文序列为基础，加入另外的可以嵌入到2-pair的1-pair回文序列，构成3-pair回文序列，直到Longest/2-pair为止。（当然，所有的回文序列中间的单字符加上回文序列也是回文序列）
方法二、（由字符串中的最长回文子序列的思路拓展得到）
如上方法一所说，对于求Longest的具体方法，王晓东的《算法设计与分析》这本书上有详细的解答。那么，如何拓展呢？？（动态规划法或者是分治法）
我们知道，最长回文子序列是采用规避两端，考虑中间的策略。即若有字符串string，长度为length，找出字符串string[i:j]之间的最长回文子序列，则有f(i,j)为获取函数：
当i>j时，f(i,j)=0。
当i=j时，f(i,j)=1。
当i<j并且string[i]=string[j]时，f(i,j)=f(i+1,j-1)+2。
当i<j并且string[i]≠string[j]时，f(i,j)=max( f(i,j-1), f(i+1,j) )。
注意如果i+1=j并且string[i]=string[j]时，f(i,j)=f(i+1,j-1)+2=f(j,j-1)+2=2，这就是“当i>j时f(i,j)=0”的好处。
由于f(i,j)依赖i+1，所以循环计算的时候，第一维必须倒过来计算，从string.length-1到0。
最后，string的最长回文子序列长度为f(0, string.length-1)。
好了，由这个方法拓展，怎么拓呢？？设Get(i,j)为获取字符串string[i:j]中间所有回文子序列的函数
（1）对于string[i:j]来说，若有string[i]==string[j]，则Get(i,j)由此几部分组成-------string[i]、string[j]、Get(i+1,j-1)、Get(i,j-1)、Get(i+1,j)、string[i]-string[j]、string[i]-Get(i+1,j-1)-string[j]（因为最两头已回文，故与Get(i+1,j-1)相同，是比Get(i+1,j-1)长2个字符的回文子序列）；
（2）若有string[i]!=string[j]，则Get(i,j)由此几部分组成-------string[i]、string[j]、Get(i+1,j-1)、Get(i,j-1)、Get(i+1,j)；
（3）if(i==j)Get(i,j)==1;
但是在（1）（2）中，Get(i,j-1)、Get(i+1,j)同时又包含Get(i+1,j-1)，且Get(i,j-1)包含string[i]，Get(i+1,j)包含string[j]。
因此，实际上，当string[i]==string[j]，则Get(i,j)=Get(i,j-1)+Get(i+1,j)+1；
当string[i]!=string[j]，则Get(i,j)=Get(i,j-1)+Get(i+1,j)-Get(i+1,j-1)；
动态规划和分治思路是一样的，只不过实现不一样。
由分治法得到代码：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
int LPS_Develope(char *Str,int i,int j)//利用分治法，找出所有回文子序列的个数
{
if(i==j)return 1;
else if(i>j)return 0;
if(Str[i]==Str[j])
return 1+LPS_Develope(Str,i+1,j)+LPS_Develope(Str,i,j-1);
else
return LPS_Develope(Str,i+1,j)+LPS_Develope(Str,i,j-1)-LPS_Develope(Str,i+1,j-1);
}
int main()
{
char str[30];
int scan_T,i=0,length=0,Sum=0;
scanf("%d",&scan_T);
for(i=0; i<scan_T; i++)
{
scanf("%s",str);
length=strlen(str);
Sum=LPS_Develope(str,0,length-1);
if(i!=scan_T-1)
printf("Case #%d: %d\n",i+1,Sum);
else
printf("Case #%d: %d",i+1,Sum);
}
}
使用动态规划方法（由分治转换）：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
int main(void)
{
char str[30];
int scan_T,i=0,j=0,m=0,length=0,Sum=0;
int str_m[25][25];
scanf("%d",&scan_T);
for(i=0; i<scan_T; i++)
{
scanf("%s",str);
length=strlen(str);
// Sum=LPS_Develope(str,0,length-1);
memset(str_m,0,sizeof(str_m));
for(j=length-1; j>=0; j--)
{ //利用动态规划法求解
str_m[j][j]=1;//由分治法思路转换
for(m=j+1; m<length; m++)
{
if(str[j]==str[m])
str_m[j][m]=1+str_m[j+1][m]+str_m[j][m-1];
else
str_m[j][m]=str_m[j+1][m]+str_m[j][m-1]-str_m[j+1][m-1];
}
}
if(i!=scan_T-1)
printf("Case #%d: %d\n",i+1,str_m[0][length-1]);
else
printf("Case #%d: %d",i+1,str_m[0][length-1]);
}
return 0;
}下面更新于2018.8.17.
而针对字符串中的最长回文字符串问题，可以参考这篇文章https://www.cnblogs.com/coderJiebao/p/Algorithmofnotes30.html。同样C++实现代码（转载）。
//最长回文字符串
int get_max(string str)
{
int length = str.length();
int matrix[length][length];
memset(matrix,0,sizeof(matrix));
int max_length = 1;
for (int i = 0; i < length; i++)
{
matrix[i][i] = 1;
if (i < length - 1)
{
if (str[i] = str[i+1])
{
matrix[i][i+1] = 1;
max_length = 2;
}
else
matrix[i][i+1] = 0;
}
}
for (int es_len = 3; es_len <= length; es_len++)
for (int b_index = 0; b_index+es_len-1 < length; b_index++)
{
e_index = b_index + es_len - 1;
if (str[b_index] == str[e_index] && matrix[b_index+1][e_index-1] == 1)
{
matrix[b_index][e_index] = 1;
max_length = es_len;
}
}
return max_length;
}