Manacher算法讲解——字符串最长回文子串

$引入$

Manachar算法主要是处理字符串中关于回文串的问题的，这没什么好说的。

$Manacher算法$

朴素

求一个字符串中以每个点为中心的最长回文子串，这是 $manacher$ 直接解决的问题。

以每个点为中心的回文子串是连续的，它并不像字符串的 $border$ ，因此可以二分，于是在不知道 $manacher$ 的情况下其实可以用字符串哈希+二分，只不过是 $O(nlogn)$ 的。

但是 $manacher$ 可以 $O(n)$ 算出，因此在有些专门卡 $log$ 的题目中 $manacher$ 有不可比拟的优越性。

我们不妨设以 $i$ 为中心的最长回文子串长度为 $F[i]\ast 2+1$ ，$manacher$ 实际上是利用了一个回文字符串内的 $F[]$ 的性质。

一个回文字符串，因为它是对称的，因此在仅考虑此字符串的情况下，它的 $F$ 数组也是对称的，这便是 $manacher$ 算法的核心了吧。

因此，我们考虑从左到右依次计算 $F[i]$ ，当遍历到一个点 $i$ 时，首先 $F[i-1]$ 肯定已经算出来了。

如果 $F[i-1]==0$ 就直接暴力扩展 i ，否则，如果 $F[i-2]<F[i-1]-1$，说明什么呢？

$F[i]=F[i-2]$，一定是这样的.

1. $F[i]$ 肯定不能小于 $F[i-2]$ ，因为这个回文子串以 $i-1$ 为对称中心，两边对称的两点，既然其中 $i-2$ 可以扩大到 $F[i-2]$，且在 $i-1$ 为中心的大回文串内 ，由于对称性，因此 $[i-F[i-2],i+F[i-2]]$ 范围内也一定是个回文串。
2. $F[i]$ 也不能大于 $F[i-2]$ ，因为以每个点为中心的回文子串是连续的，$F[i]>F[i-2]$ 意味着 $F[i]$ 可以为 $F[i-2]+1$，而由于 $F[i-2]<F[i-1]-1$ ，对于 $i-2$ 来说，$F[i-2]+1$ 仍然在大回文串范围内，因此 $F[i-2]$ 肯定就不止这个数了。

然后呢，是不是可以继续利用这个大红串呢？我们还可以考虑 $F[i-3]$ 是否小于 $F[i-1]-2$ 来决定 $F[i+1]$ ，考虑 $F[i-4]$ 是否小于 $F[i-1]-3$ 来决定 $F[i+2]$ ……直到超出红框或者：有一个 $F[i-2-x]\ge F[i-1]-1-x$，这时候，$F[i+x]$ 至少能扩大到红框边界吧，因为它的对称点都能扩大到红框边界。然后，再把 $F[i+x]$ 暴力往外扩。

我们会发现，整个过程中，每次往外扩一定能使前面所有的 $i+F[i]$ 的最大值变大，因此，它是线性的。

转化

很明显，对于一个回文字符串而言，并不一定中心是一个字符，也有可能是两个相同的字符的中界，即回文串长度为偶数，因此，一般把原串中每两个字符中间添一个没出现过的字符，于是所有的 $F[i]\ast 2+1$（包括边界的）都会变成 $(F[i]\ast 2+1)\ast 2+1$ ，这样就可以解决长度为偶数的情况。

模板

void Manacher(char *s,int *F,int n) {
    
    // 已是转化后的 S 
	F[1] = 0;
	for(int i = 2;i <= n;i ++) {
    
    
		int j = i;
		while(j < i-1+F[i-1] && j+F[i-1-(j-i+1)] < i-1+F[i-1]) F[j] = F[i-1-(j-i+1)],j ++;
		F[j] = max(0,i-1+F[i-1] - j);
		while(j+F[j] < n && j-F[j] > 1 && s[j+F[j]+1] == s[j-F[j]-1]) F[j] ++;
		i = j;
	}
	return ;
}