字符串的最长回文子串

马拉车（Manacher）算法是在O（n）时间内解决寻找源字符串的最长回文子串S的问题的算法。

朴素算法情况下对于每一个S[i]都要左右遍历其最大回文子串，所以时间复杂度是O（n2）
算法流程分析

        由于回文分为偶回文（比如 abab 长度为4）和奇回文（比如 abcba 长度为5），而在处理奇偶问题比较麻烦，所以这里需要做          个预处理，在字符间插入一个特殊字符（这个字符不能在串里出现），将原串转换统一成奇串。

        比如原字符串： s =”abbaTNTabcba”
　　插入字符之后：sNew= “$#a#b#b#a#T#N#T#a#b#c#b#a#”（开头的$是为了防止越界，在下面的代码注释中有体现）

        原串s中含有一个偶回文abba和两个奇回文baTNTab、abcba，插入'#'字符后长度都转换成了奇数，比如：#a#b#b#a#长度为            9、#b#a#T#N#T#a#b#长度为15。
算法需要一个与新串sNew等长的辅助数组vector<int> p(sNew.size(),0)，其中p[i]表示以sNew[i]为中心的最长回文子串的半径，          若p[i]=1，则该回文子串就是sNew[i]本身。下面我们将新串sNew的最大回文子串半径列出：

例如：以sNew[20]=’c’为中心的最长回文子串半径为6。

由于第一个和最后一个字符都是#号，且也需要搜索回文，为了防止越界，由于字符串在结尾有’\0’，所以在字符串开头需要加上非#号字符(为了区分这里用的$)。通过p数组可以找到最大回文子串半径的最大值及其中心位置，就能确定最长回文子串了。接下来的问题是如何求p数组？

Manacher算法利用开头提到的回文的左边是右边的镜像，让回文串起始的对比位置尽可能的大。

图1

图2

图注：id为已知的最大回文子串中心的位置，mx是已知最大回文串的右边界，i为当前遍历到字符串的位置。

这里有两种情况讨论：

      一、mx > i



二、mx < i　
　　此时镜像对预判位置起不到作用，只能从长度为1开始对比，所以p[i] = 1。
又到了激动人心的贴板子环节。

    #include<iostream>
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    //返回源字符串S的最长回文子串
    string Manacher(string s){
        //预处理源串
        string t = "$#";
        for(int i=0; i<s.size(); i++){
            t+=s[i];
            t+="#";
        }
        //新建p数组,大小和t串一致，初始化为0 ，p[i]表示以t[i]为中心的回文串半径
        vector<int> p(t.size() , 0);
        //设定重要参数 mx(某回文串延伸到的最右边下标),id(mx所属回文串中心下标),
        //reCenter（结果最大回文串中心下标）,reLen（最大长回文长度）
        int mx = 0, id = 0, reCenter = 0, reLen = 0;
        //遍历t字符串
        for(int i=1; i<t.size(); i++){
            //核心算法
            p[i] = mx > i ? min(mx - i , p[2*id - i]) : 1;
            //上面的语句只能确定i~mx的回文情况，至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了，匹配一个p[i]++
            while(t[i + p[i]] == t[i - p[i]]) p[i]++;
            //当t[i]匹配的右边界超过mx时mx和id就更新
            if(i+p[i] > mx){
                mx = i+p[i];
                id = i;
            }
            //更新结果数据
            if(p[i] > reLen){
                reLen = p[i];
                reCenter = i;
            }
        }
        return s.substr((reCenter - reLen) / 2 , reLen - 1) ;
    }
    int main(){
       string s="abracadabra";
       string temp=Manacher(s);
       cout<<temp<<endl;
       return 0;
    }
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