【数据结构与算法分析】第四章树（二）

3.二叉树

二叉树是一棵树，其中每个节点都不能有多于两个的儿子。

4.表达式树

表达式树的树叶是操作数，如常量或变量，其他节点为操作符。其计算过程为中序遍历（左子树，节点，右子树）。

如图为一个表达式树：

左子树的值为a+(b*c)，右子树的值是((d * e)+f)*g，整个树为（a+(b * c)）+（((d * e)+f)*g），也称为中缀表达式

后序遍历（左子树，右子树，节点）输出结果为：abc*++de * f+g*+，表达式也称为后缀表达式

前序遍历（节点，左子树，右子树）输出结果为：++a*bc * +*defg，表达式也称为前缀表达式

5.二叉查找树

二叉树的一个重要的应用是它们在查找中的使用。

二叉查找树的性质：

若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

如图，左边的树为二叉查找树

分析：

左图，（1）对于节点6，左子树上的每个值均小于6，右子树上的每个值都大于6，（2）对于节点2，左子树上的每个值均小于2，右子树上的每个值都大于2，（3）对于节点4，左子树上的每个值均小于4，无右子树

右图，对于节点6，左子树中含有子节点7大于节点6，所有不是二叉查找树

5.1程序实现

二叉查找树的声明：

#ifndif _Tree_H
struct TreeNode;
typedef struct TreeNode *Position;
typedef struct TreeNode *SearchTree;
SearchTree MakeEmpty(SearchTree T);
Position Find(ElementType X,SeachTree T);
Position FindMin(SeachTree T);
Position FindMax(SeachTree T);
SearchTree Insert(ElementType X,SeachTree T);
SearchTree Delete(ElementType X,SeachTree T);
ElementType Retrieve(Position P);
#endif
struct TreeNode
{
    ElementType Element;
    SearchTree Left;
    SearchTree Right;
};

建立一个空树：

SearchTree MakeEmpty(SearchTree T)
{
    if(T!=NULL)
    {
        MakeEmpty(T->Left);
        MakeEmpty(T->Right);
        free(T);
    }
    return NULL;
}

二叉查找树的Find操作：

Position Find(ElementType X,SearchTree T)//利用二叉查找树中每个节点的左子节点小于父节点，有子节点大于父节点的性质
{
    if(T==NULL)
        return NULL;//未查找到关键字X
    if(X<T->Element)//如果查找的关键字小于节点的关键字
        return Find(X,T->Left);//用递归方式，查找节点的左子节点
    else if(X>T->Element)//如果查找的关键字大于节点的关键字
        return Find(X,T->Right);//用递归方式，查找节点的右子节点
    else
        return T;//查找到关键字X，返回指向树T中具有关键字X的节点的指针
}

对二叉查找树的FindMin的递归实现：

Position FindMin(SearchTree T)//查找树中最小元素的位置，每个父节点的左子节点均小于父节点
{
    if(T==NULL)
        return NULL;
    else if(T->Left==NULL)
        return T;
    else
        return FindMin(T->Left);
}

对二叉查找树的FindMax的非递归实现：

Position FindMax(SearchTree T)
{
    if(T!= NULL)
        while(T->Right != NULL)
            T=T->Right;
    return T;
}

对二叉查找树的FindMax的递归实现：

Position FindMax(SearchTree T)//查找树中最大元素的位置，每个父节点的右子节点均大于父节点
{
    if(T==NULL)
        return NULL;
    else if(T->Right==NULL)
        return T;
    else
        return FindMax(T->Right);
}

插入元素到二叉查找树：

SearchTree Insert(ElementType X,SearchTree T)//将X插入树T，如果找到X，则什么也不做，否则，将插入X到遍历的路径上的最后一点
{
    if(T==NULL)
    {
        T=malloc(sizeof(struct TreeNode));
        if(T==NULL)
            FatalError("out of space");
        else
        {
            T->Element = X;
            T->Left = T->Right = NULL;
        }
    }
    else if(X<T->Element)
        T->Left=Insert(X,T->Left);
    else if(X>T->Element)
        T->Right = Inser(X,T->Right);
    return T;
}

如图插入元素5:

5.2Delete

删除节点的几种情况：

（1）节点是树叶，它可以立即被删除

（2）节点有一个儿子，删除情况如图：

（3）节点有两个儿子，用删除节点2的右子树的最小数据3代替该节点的数据，并递归的删除那个节点3，因为右子树的最小数据无左儿子，第二次删除较容易，删除情况如图：

代码实现：

SearchTree Delete(ElementType X,SearchTree T)
{
    Position Temp;
    if(T==NULL)
        Error("Element not found");
    else if(X<T->Element)//go left
        T->Left=Delete(X,T->Left);
    else if(X>T->Element)//go right
        T->Right=Delete(X,T->Right);
    else if(T->Left&&T->Right)//如果有两儿子
    {
        Temp=FindMin(T->Right);//找到右子树中最小元素的位置
        T->Element=Temp->Element;
        T->Right=Delete(T->Element,T->Right);
    }
    else//如果有一个或没有儿子
    {
        Temp=T;
        if(T->Left!=NULL)//有一个左儿子
            T=T->Left;
        else if(T->Right!=NULL)//有一个右儿子
            T=T->Right;
        free(temp);
    }
    return T;
}