[图] 关节点 与 重（双）连通图

这是一个不正经与简单明了的笔记

关节点

什么是关节点

【关节点】

删除顶点V
  与       =>图不再是连通图了 => 顶点V就叫关节点
V上的所有边

【连通图】图中的任意两点，都有路可以连通
例子：
1. 将 顶点a 与 a的所有边删除 => 图被分成两个部分（连通分量） => a是关节点
2. 将 顶点c 与 c的所有边删除 => 图被分成两个部分（连通分量） => c是关节点
3. 将 顶点b 与 b的所有边删除 => 图还是连通图 => b不是关节点

【解释】怎么看v是不是关节点 => v死后，其他结点是不是相互找到 => 不能的话，那v就是关键的东西，它死了，你就找不到你上面的人了 => v是关节点

关节点的特征

定性的了解关节点，方便之后讨论如何求它 => 利用DFS生成树

看生成树中各个顶点的类型：

1. 根结点
2. 其他结点

类型一：根结点a

【△】如果 根结点a有两个或两个以上的分支 => a就是关节点

【解释】生成树有两棵子树意味着什么？<= 两个子树之间是互不相同的
【证明】生成树有两棵子树w1,w2 => 若 w1中有一个顶点v1 与 w2中一个结点v2 存在一条边，那么！在遍历w1的时候，就会遍历到v2 => v2所属的子树w2 不会成为 根结点的一个子树，而是被挂在w1下
【结论】生成树中根结点的子树各不相通，除了通过根结点本身

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类型二：其他结点

【△】若 v没有和它祖先相同的回边 => v是关节点

【解释】实际上，就是v死后，其他人是不是能够相互找到（可以通过中间人找）
【例子】左边是图，右边是一个DFS生成树。
从右图中，可以看到，DFS树上除了自身的边，还有一些边(e-c,c-f,h-a）
这些边是生成DFS树时，没有走过的边，这里叫做回边（e-c,f-a,h-a）
=> 可以看出，
1. 如果d死了，e还可以通过c，找到别的人（所有人）；
2. 如果g死了，h可以通过a找到别的人（所有人）
3. 如果c死了， f可以通过a找到其他人（不是所有人），但不能找到d和e，因为de与其他结点失联了 => c是关键的

如何求关节点

定性 到 定量的求法

类型一：生成树的根

若从 DFS生成树 的 根结点 的 一个边 出发DFS
- 能够访问到所有结点 => 只有一个子树 => 根 不是关节点
- 若不能访问到所有结点 => 有好几个子树 => 根 是关节点

p = G.vertices[0].firstarc; //取第一个结点，即取a
v= p->adjvex; //取a的第一个邻结点
DFSArticul(G,v); //从v开始进行DFS
if (count < G.vexnum ) { //count：访问到的结点总数，在DFS时记录
    //根是关节点
}

类型二：其他结点

判断v是不是关节点:

1. visited[v]为v的访问次序
2. 一个函数low()
   
3. 如果v有一个孩子w，满足low[w] ≥ visited[v]，则v就是关节点

实现：

1. 怎么判断v是不是关节点？
   看到公式low() => 求v是不是，得看它的子节点 => 所以是退回到v的时候来判断v是不是 => DFS执行完之后来判断【代码中位置①】

2. low()怎么在代码中实现呢？
   先定义一个min【代码中位置②】，low(v)中有三个量，谁出现了就和min进行比较，取最小

   • visited[v]最先出现：遍历到v的时候就出现了【代码中位置③】
   • low[w]：遍历到w的时候，可以计算，计算完，让它与min比较【代码中位置④】
   • visited[k]：k为回边，即第二次遍历到k结点的时候即是回边时【代码中位置⑤】

//从 第v0顶点 出发DFS，查找并输出关节点
void DFSArticul(ALGraph G, int v0) {
    //v0是第count个访问的顶点
    visited[v0] = min = ++count; // --②、③
    for (p=G.vertices[v0].firstarc; p; p=p->nextarc) { //对v0的每个邻接点进行检查
        w = p->adjvex; //w是v0的邻接点
        if (visited[w] == 0) { //之前都没有访问过
            DFSArticul(G, w);
            if (low[w] < min) min = low[w]; // --④
            if (low[w] >= visited[v0]) printf(v0是关节点); // --①
        } else if (visited[w] < min) { //w已经访问过了，说明w是回边
            min = visited[w]; // --⑤
        }
    } 
    low[v0] = min; //设置v0的low值
}

总代码

count=1; //定义为全局变量
void FindArticul(ALGraph G) {
    visited[0]=1; //设定邻接表上0号顶点为 生成树的根
    for (i=1; i<G.verxum; ++i) visited[i] = 0; //初始化，其余点没有访问
    p = G.vertices[0].firstarc; v = p->adjvex; //取 根的第一个邻接点
    DFSArticul(G,v); //开始DFS
    if (count<G.vexnum) {
        printf("根是关节点"); //根是关节点，输出相应信息
        while (p->nextarc) {
            p = p->nextarc; v = p->adjvex;
            if (visited[v]==0) DFSArticul(g,v);
        }
    }
}
//从 第v0顶点 出发DFS，查找并输出关节点
void DFSArticul(ALGraph G, int v0) {
    //v0是第count个访问的顶点
    visited[v0] = min = ++count; // --②、③
    for (p=G.vertices[v0].firstarc; p; p=p->nextarc) { //对v0的每个邻接点进行检查
        w = p->adjvex; //w是v0的邻接点
        if (visited[w] == 0) { //之前都没有访问过
            DFSArticul(G, w);
            if (low[w] < min) min = low[w]; // --④
            if (low[w] >= visited[v0]) printf(v0是关节点); // --①
        } else if (visited[w] < min) { //w已经访问过了，说明w是回边
            min = visited[w]; // --⑤
        }
    } 
    low[v0] = min; //设置v0的low值
}

重（双）连通图

【重（双）连通图】没有关节点的连通图为双连通图

【解释】前提：图为连通图 => 如果从图中删除任何一个顶点 => 其他顶点之间都能相互通讯，即它还是一个连通图 => 这个连通图 就叫 重（双）连通图