计算海洋声学之波动方程求解思路

摘要

本文按照计算海洋声学中常见计算流程对波动方程的求解过程进行了梳理，给出了求解要点。本文侧重于整体思路，对求解过程细节之处并未详细讨论。

引言

• 计算海洋声学的研究内容：海洋声学问题转变为特定边界条件下波动方程的求解问题，利用数值计算手段予以解决。
• 波动方程的求解思路：通过层层分解，降低波动方程的维度，得到一维波动方程后予以求解，最后通过反变换还原解。
• 需要关注的要点：方程的维度，边界条件，坐标系，源的情况（点源/线源，有源/无源）。

求解流程概述

如上图所示，以各向均匀的理想波导下柱面波传播的声波为例，整个位移势满足的波动方程求解分为以下几步：首先，对波动方程两边取傅里叶变换得到频域的波动方程（亥姆霍兹方程）；其次，通过汉克尔变换得到深度分离的波动方程；然后，求解深度分离的波动方程得到$\psi(k_{r},z)$；接下，若采用波束积分方法，则直接离散化计算反汉克尔变换，若采用简正波计算方法，则采用留数定理计算；最后反傅里叶变换得到时域波形。

求解流程分析

首先由声学的基本规律，推导出波动方程，速度势$\psi$满足下述方程
${{\nabla }^{\text{2}}}\psi -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{t}^{2}}}=f\left( \vec{r},t \right)$
需注意，这是一个四维（空间三维、时间一维）的二阶偏微分方程。首先对方程两边进行傅里叶变换，方程变为如下形式
$[{{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}}(\vec{r})]{{\psi }_{\omega }}\left( {\vec{r}} \right)={{f}_{\omega }}\left( {\vec{r}} \right)$
整个方程从时域变换到频域，方程的维度得以降低，变为三维波动方程。
使用亥姆霍兹方程进行后续求解目的有两点：
- 分离出时间维，减少方程的维度。
- 由帕斯卡定理，时域和频域的能量相等，对于单频信号来说，信号的频域值反映了稳态能量的分布情况，而不同位置的能量分布反映了声传播规律。
声源向各个方向传播，在没有指向性的情况下，各个方向的声场是一致的，因此选择柱坐标系，$r=（r,\theta,z）$,在柱坐标系条件下，由于$\theta$的取值，不影响声场的分布。若选择笛卡尔坐标，x,y,z各个坐标的不同都会影响声场分布。因此选择合适的坐标系，也能够达到降维的目的。

积分变换方法适用在一个或多个维度空间中，边界条件保持不变的情况。例如：点源，柱面波传播的情况，其声场分布仅与距离、深度两个维度有关，与方位角无关。使用积分变换方法以达到进一步降低维度的目的。如下汉克尔算子进行积分变换：
$\frac{1}{2}\int_{ - \infty }^\infty {\psi \left( {{k_r},z} \right)} H_0^{\left( 1 \right)}\left( {{k_r}r} \right){k_r}d{k_r}$
对方程两边进行汉克尔变换，得到深度分离的波动方程：
${\rm{[}}\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\left( {{{\rm{k}}^{\rm{2}}}{\rm{ - k}}_{\rm{r}}^{\rm{2}}} \right){\rm{]\psi }}\left( {{{\rm{k}}_{\rm{r}}}{\rm{,z}}} \right){\rm{ = f}}\left( {{{\rm{k}}_{\rm{r}}}{\rm{,z}}} \right)$
至此方程维度降为一维，这是我们可以求解的一类方程。这里可以采用格林函数法当解，当$\psi(k_{r}，z)$得到后，可利用

求解得到$\psi(r，z)$。上式只是定义式，在实际计算中需要数值计算。这里便是波束积分和简正波理论不同之处：波束积分采用直接进行数值积分的方法计算（简单说就是直接采用合适的采样间隔，离散采样，用离散求和代替连续积分）；简正波理论采用留数定理在复平面计算。