线性模方程求解

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对于一些数论专题总是有些晕，还是要多做题（O_O）

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所谓线性模方程，就是形如$ax\equiv b \pmod n\ (a,x,b,n\in Z^*)$的方程。。

已知a，b，需要求解最小的x值。

方法如下：

原方程等价于$ax-ny = b$，令$d = gcd(a, n)$。

如果$b \mod d \neq 0$，则方程无解，因为左边是d的倍数，而右边不是。

如果$b \mod d = 0$，则先使用扩展欧几里得算法求出方程$ax'+ny'=d$的一组解，然后原方程的解$x=(x'\times(b\div d))\mod n$，这里略去证明。

代码如下：

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){
    if(!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long g = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= (a/b)*x;
    return g;
}

bool liner_mode_equition(long long a, long long &x, long long b, long long n) {
    long long x_, y_, d = exgcd(a, n, x_, y_);
    if(b % d != 0) return false;
    x = (x_ * (b / d)) % n;
    return true;
}

就是这么简单(^__^)！