图
定义：图是由顶点集V和顶点间的关系集合E（边的集合）组成的一种数据结构，可以用二元组定义为：G=（V,E）
术语：
有向图和无向图：在图中，若用箭头标明了边是由方向性的，则为有向图，否则称为无向图。
完全图：具有n个顶点，n（n-1）/2条边的图，称为完全无向图。具有n个顶点，n（n-1）条弧的有向图，称为完全有向图，两者都称为完全图。
稠密图：边数多于完全图的一半
稀疏图：边数少于完全图的一半
度：一个顶点依附的边或弧的数目，称为该顶点的度。等于该顶点的入度和出度之和。
入度：一个顶点依附的弧头数目，称为该顶点的入度
出度：一个顶点依附的弧尾数目，称为该顶点的出度
图的存储结构
图的邻接矩阵表示：
从无向图的邻接矩阵中可以得出如下结论：
- 邻接矩阵是对称的
- 第i行或第i列1的个数为顶点i的度
- 矩阵中1的个数的一半为图中边的数目
- 顶点i和j相连看i行j列值是否为1
从有向图的邻接矩阵可以得出如下结论：
- 矩阵不一定是对称的
- 第i行中1的个数为顶点i的出度
- 第i列中1的个数为顶点i的入度
- 矩阵中1的个数为图中弧的数目
- 很容易判断顶点i和顶点j是否有弧相连
网的邻接矩阵表示：
邻接表：
从无向图的邻接表可以得到如下结论：
- 第i个链表中结点数目为顶点i的度
- 所有链表中结点数目的一半为图中边数
- 占用的存储单元数目为n+2e
从有向图的邻接表可以得到如下结论：
第i个链表中结点数目为顶点i的出度
所有链表中结点数目为图中弧数
占用的存储单元数目为n+e
图的遍历
定义：从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每个顶点仅被访问一次
两条遍历图的路径：深度优先搜索（栈）、广度优先搜索（队列）
深度优先搜索遍历：
- 首先访问顶点i，并将其访问标记置为访问过，即Visited[i]=1；
- 然后搜索与顶点i有边相连的下一个顶点j，若j未被访问过，则访问它，并将j的访问标记置为访问过，即Visited[j]=1，然后从j开始重复此过程，若j已访问，再看与i有边相邻的其他顶点
- 若与i有边相连的顶点都被访问过，则退回到前一个访问顶点重复刚才过程，直到图中所有顶点都被访问完为止。
广度优先搜索遍历：
- 开始时要将其置空
- 在每访问一个顶点时，要将其入队
- 在访问一个顶点的所有后继时，要将其出队
- 若队列为空时，说明每一个访问过的所有后继均已访问过。因而本次遍历结束。若此时还有未访问的顶点，需要另选起点进行遍历。
生成树和最小生成树
生成树：
在图论中，常常将树定义为一个无回路连通图。
最小生成树：
若生成树中每条边上权值之和达到最小，称为最小生成树。
普利姆（prim）算法：
在图中任取一个顶点K作为开始点，另U={k}，W=V-U，其中V为图中所有顶点集，然后找一个顶点在U中，另一个顶点在W中的边中最短的一条，找到后，将该边作为最小生成树的树边保存起来，并将该边顶点全部加入U集合中，并从W中删去这些顶点，然后重新调整U中顶点到W中顶点的距离，使之保持最小，再重复此过程，直到W为空集为止。
克鲁斯卡尔算法：
将图中所有边按权值递增顺序排列，依次选取权值较小的边，但要求后面选取的边不能与前面选取的边构成回路，若构成回路，则放弃该条边，再去选后面权值较大的边，n个顶点的图中，选够n-1条边即可。
最短路径
单源点最短路径：给定一个出发点（单源点）和一个有向网G=<V,E>，求出源点到其他各个顶点之间的最短路径
迪杰斯特拉（）算法：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S，其中V为网中所有顶点集合。按最短路径长度递增的顺序逐个以V-S中的顶点加到S中，直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
顶点对之间的最短路径：对于给定的有向网G=<V,E>，要对G中任意一对顶点有序对V\W(V!=W)，找出V到W的最短距离和W到V的最短距离。
解决此问题的一个有效方法是：轮流以每一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法n次。即可求得每一对顶点之间的最短路径，总的时间复杂度为O（）
弗洛伊德算法：
拓扑排序
实现步骤：
- 在AOV网中选一个入度为0的顶点且输出之
- 从AOV网中删除此顶点及该顶点发出来的所有有向边
- 重复12两步，直到AOV网中所有顶点都被输出或网中不存在入度为0的顶点
因此，对给定的AOV网，应先判断它是否存在有向环。判断的方法是对该AOV网进行拓扑排序，将AOV网中的顶点排成一个线性有序序列，若该线性序列中包含AOV网全部顶点，则AOV网无环。否则，AOV网中存在有向环，该AOV网所代表的工程是不行的。
关键路径
若以带权有向图的顶点代表事件，或工程进展状态，用弧表示活动，弧上的权值表示完成该活动所需要的时间，则这样的带权有向图称为AOE网（Activity ON Edge Network）
源点：网中只有一个入度为零的点
汇点：只有一个出度为零的点
路径：由源点经由一系列顶点到达汇点所经过的有向边组成（无回路），注意：路径可以有多条。
路径长度：组成路径的各有向边上活动所需时间之和。
最长路径长度：时间之和最大的路径——即完成整个工程所需的时间，这是因为所有活动完成之后，即在这条最长路径上的所有活动完成之后，才能完成整个工程。
关键路径：将具有最长路径长度的路径就称为关键路径
关键活动：不按期完成，则整个工程就不能按期完成的活动。
AOE网具有下列性质：
- 只有在某个顶点代表的事件发生后，从该顶点出发的各条弧所代表的活动才能开始。
- 只有在进入某一顶点的各条弧代表的活动结束后，该顶点所代表的时间才能发生。
小结：表示一个实际工程的AOE网应该是一个没有回路的带权有向图。由于整个工程只有一个开始点和结束点，因此AOE网中只有一个入度为0顶点（源点）和一个出度为0 的顶点（汇点）。
事件最早
事件最晚
活动最早
活动最晚
余量
求AOE网中关键路径和关键活动的算法步骤：
利用拓扑排序求出AOE网的一个拓扑序列
从拓扑序列的第一个顶点开始，按拓扑顺序依次计算出每个事件的最早发生事件ve[j]
从拓扑序列的最后一个顶点开始，假设不延误，按照逆拓扑顺序依次计算每个事件的最晚发生事件vl[j]
对每个活动<vi，vj>，若ve[i]+dur（i，j）=vl[j]，则该活动为关键活动，并输出。