Algorithm——堆排序算法
在分析堆排序之前，我们先来回顾一些基本概念：在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。而完全二叉树：叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树（即叶子结点都是从左到右依次排布）。
堆是一个数组，它可以被看成一个近似的完全二叉树。树的每一个节点对应数组中的一个元素。除了最底层外，该树是完全满的，而且是从左向右填充。表示堆的数组A包括两个属性：
- A.length：给出数组元素的个数
- A.heap-size：表示有多少个堆元素存储在该数组中。也就是说，虽然A[1...A.length]可能都存有数据，但只有A[1...A.heap-size]中存放的是堆的有效数据，这里0=<A.heap-size=<A.length；在实际算法实现中，使用heap-size属性可以剔除掉已经交换得到的最大值元素。
同时堆也分为最大堆和最小堆。在最大堆中，最大堆性质是指除了根以外的所以节点i都要满足：A[PARENT(i)]>=A[i]。也就是说，某个节点的值至多与其父节点一样大。因此，堆中的最大元素存放根节点中；且，在任意子树中，该子树所包含的所有节点的值都不大于该子树根节点的值。最小堆的组织方式正好相反：最小堆性质是指除了根以外的所有节点i都有A[PARENT(i)]=<A[i]。
通常，堆排序算法中使用最大堆；最小堆则用于构造优先队列。
用Java实现的堆排序算法如下所示：
/**
* 堆排序
*
* @param A
*/
public void heapSort(int[] A) {
int heap_size = A.length - 1;
buildMaxHeap(A, heap_size);
for (int i = A.length - 1; i > 0; i--) {
exchange(A, 0, i);
heap_size--;
maxHeapify(A, heap_size, 0);
}
}
/**
*
* 建立初始最大堆
*
* 由完全二叉树的性质可以推出:如果要将数组A[1...n]转换成最大堆,则子数组元素A[n/2 + 1...n]都是树的叶子节点,且叶子节点可以看做是只有一个元素的堆
*
* @param A
*/
public void buildMaxHeap(int[] A, int heap_size) {
for (int i = A.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
maxHeapify(A, heap_size, i);
}
}
/**
* 堆排序中使用最大堆性质
*
* 维护最大堆性质:以iMax节点为根节点，维护此子二叉树中的最大堆性质
*
* @param A
* 排序的数组
* @param idex
* 操作的子树的根节点对应的下标值
*/
public void maxHeapify(int[] A, int heap_size, int iMax) {
int left = getLeftIndex(iMax);// 该根节点的左节点元素下标
int right = getRightIndex(iMax);// 该根节点的右节点元素下标
int largest = iMax;
if (heap_size >= left && A[left] > A[iMax])// 判断根节点下标的元素与左子节点下标的元素哪个大;largest存放较大的元素的下标
largest = left;
else
largest = iMax;
if (heap_size >= right && A[right] > A[largest])// 判断largest下标的代表元素与右节点下标的元素哪个大;largest存放较大的元素的下标
largest = right;
if (iMax != largest) {// 如果largest与iMax不等，说明根节点的元素并不是最大的;随即进行元素调换,保证根节点的元素值是根节点/左右子节点中最大的那个
exchange(A, iMax, largest);
maxHeapify(A, heap_size, largest);// 在递归调用maxHeapify()函,使以largest下标元素为根节点的子树也保证堆最大性质
}
}
public void exchange(int[] A, int idex, int idex2) {
int temp = A[idex];
A[idex] = A[idex2];
A[idex2] = temp;
}
/**
*
* 获取下标i对应元素的父元素下标
*
* @param i
* @return
*/
public int getParentIndex(int iMax) {
return (iMax == 0) ? 0 : (iMax % 2 == 0 ? (iMax - 1 / 2) : (iMax / 2));
}
/**
*
* 获取下标i代表的父元素的左子元素的下标
*
* @param i
* @return
*/
public int getLeftIndex(int iMax) {
return 2 * iMax + 1;
}
/**
* 获取下标i代表的父元素的右子元素的下标
*
* @param i
* @return
*/
public int getRightIndex(int iMax) {
return 2 * (iMax + 1);
}public class SortAlgor {
public static void main(String[] args) {
int[] array = { 2,5,10,8,7 };
SortAlgor algorithm = new SortAlgor();
algorithm.heapSort(array);
algorithm.arrayPrint(array);
}
/**
* 堆排序
*
* @param A
*/
public void heapSort(int[] A) {
int heap_size = A.length - 1;
buildMaxHeap(A, heap_size);
for (int i = A.length - 1; i > 0; i--) {
exchange(A, 0, i);
heap_size--;
maxHeapify(A, heap_size, 0);
}
}
/**
*
* 建立初始最大堆
*
* 由完全二叉树的性质可以推出:如果要将数组A[1...n]转换成最大堆,则子数组元素A[n/2 + 1...n]都是树的叶子节点,且叶子节点可以看做是只有一个元素的堆
*
* @param A
*/
public void buildMaxHeap(int[] A, int heap_size) {
for (int i = A.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
maxHeapify(A, heap_size, i);
}
}
/**
* 堆排序中使用最大堆性质
*
* 维护最大堆性质:以iMax节点为根节点，维护此子二叉树中的最大堆性质
*
* @param A
* 排序的数组
* @param idex
* 操作的子树的根节点对应的下标值
*/
public void maxHeapify(int[] A, int heap_size, int iMax) {
int left = getLeftIndex(iMax);// 该根节点的左节点元素下标
int right = getRightIndex(iMax);// 该根节点的右节点元素下标
int largest = iMax;
if (heap_size >= left && A[left] > A[iMax])// 判断根节点下标的元素与左子节点下标的元素哪个大;largest存放较大的元素的下标
largest = left;
else
largest = iMax;
if (heap_size >= right && A[right] > A[largest])// 判断largest下标的代表元素与右节点下标的元素哪个大;largest存放较大的元素的下标
largest = right;
if (iMax != largest) {// 如果largest与iMax不等，说明根节点的元素并不是最大的;随即进行元素调换,保证根节点的元素值是根节点/左右子节点中最大的那个
exchange(A, iMax, largest);
maxHeapify(A, heap_size, largest);// 在递归调用maxHeapify()函,使以largest下标元素为根节点的子树也保证堆最大性质
}
}
public void exchange(int[] A, int idex, int idex2) {
int temp = A[idex];
A[idex] = A[idex2];
A[idex2] = temp;
}
/**
*
* 获取下标i对应元素的父元素下标
*
* @param i
* @return
*/
public int getParentIndex(int iMax) {
return iMax;
}
/**
*
* 获取下标i代表的父元素的左子元素的下标
*
* @param i
* @return
*/
public int getLeftIndex(int iMax) {
return 2 * iMax + 1;
}
/**
* 获取下标i代表的父元素的右子元素的下标
*
* @param i
* @return
*/
public int getRightIndex(int iMax) {
return 2 * (iMax + 1);
}
public void arrayPrint(int[] array) {
System.out.print("[");
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.print(array[i] + ", ");
}
System.out.println("]");
}
}
PS：
下面是堆排序的一个运行过程的图示：
