（费马和扩展欧几里得）求逆元

                           逆元

1.什么是逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等于a*b的逆元的模；

逆元就是这样应用的；

2.求逆元的方法

(1).费马小定理

在是素数的情况下，对任意整数都有。 
如果无法被整除，则有。 
可以在为素数的情况下求出一个数的逆元，，即为逆元。

题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；

所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。

复杂度O(logn)；

代码：

1. const int mod = 1000000009;

2. long long quickpow(long long a, long long b) {

3. if (b < 0) return 0;

4. long long ret = 1;

5. a %= mod;

6. while(b) {

7. if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;

8. b >>= 1;

9. a = (a * a) % mod;

10. }

11. return ret;

12. }

13. long long inv(long long a) {

14. return quickpow(a, mod - 2);

15. }

(2)扩展欧几里得算法求逆元

扩展欧几里得算法可以参考小白书；

百度百科-乘法逆元中有这样一个例子:

例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？

4X≡1 mod 7

这个方程等价于求一个X和K，满足

4X=7K+1

其中X和K都是整数。

求x，k就是扩展欧几里得算法了吧~

可扩展欧几里得求逆元ax≡1(mod n)其中a，n互质；

复杂度：O(logn)；

代码：

1. ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {

2. if (b == 0) {

3. x = 1, y = 0;

4. return a;

5. }

6. else {

7. ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x);

8. y -= x * (a / b);

9. return r;

10. }

11. }

12. ll inv(ll a, ll n) {

13. ll x, y;

14. extend_gcd(a, n, x, y);

15. x = (x % n + n) % n;

16. return x;

17. }

(3) 逆元线性筛 ( P为质数 )

求1,2,...,N关于P的逆元（P为质数）

复杂度：O(N)

代码：

1. const int mod = 1000000009;

2. const int maxn = 10005;

3. int inv[maxn];

4. inv[1] = 1;

5. for(int i = 2; i < 10000; i++)

6. inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

如果是求阶乘的逆元呢？（阶乘数组：fac[ ]）

代码：

1. inv[maxn]=mod_pow(fac[maxn],mod-2);

2. for(ll i=maxn-1;i>=0;i--)

3. inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;