数据结构详解——树（C++实现）

树

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- 其他树以后补充

树的定义

树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的，集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构，在这种层次结构中有一个结点具有特殊的地位，这个结点称为该树的根结点。

数据结构中有很多树的结构，其中包括二叉树、二叉搜索树、2-3树、红黑树等等，本文着重介绍二叉树。

树的基本术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的存储结构

双亲表示法

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孩子表示法

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二叉树

二叉树是数据结构中一种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。

二叉树的定义：二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

二叉树的性质

二叉树的第 $i$ 层至多有 $2^{i-1}$ 个结点；
深度为 $k$ 的二叉树至多有 $2^k-1$ 个结点；
对任何一棵二叉树 $T$ ，如果其终端结点数为 $n_0$ ，度为2的结点数为 $n_2$ ，则 $n_0=n_2+1$ 。

二叉树的实现

结构

template <class DataType>
struct BiNode
{
    DataType data;
    BiNode<DataType> * lchild,*rchild;
};

template <class DataType>
class BiTree
{
public:
    BiTree(){root = Create(root);}
    ~BiTree(){Release(root);}
    void PreOrder(){PreOrder(root);}    //前序遍历
    void InOrder(){InOrder(root);}      //中序遍历
    void PostOrder(){PostOrder(root);}  //后序遍历
private:
    BiNode<DataType> * root;
    BiNode<DataType> * Create(BiNode<DataType> *bt);
    void Release(BiNode<DataType> *bt);
    void PreOrder(BiNode<DataType> *bt);
    void InOrder(BiNode<DataType> *bt);
    void PostOrder(BiNode<DataType> *bt);
};

建立二叉树

template <class DataType>
BiNode<DataType> *BiTree<DataType>::Create(BiNode<DataType> *bt)
{
    DataType ch;
    cin>>ch;
    if(ch == '#') bt = NULL;
    else{
        bt = new BiNode<DataType>;
        bt->data = ch;
        bt->lchild = Create(bt->lchild);
        bt->rchild = Create(bt->rchild);
    }
    return bt;
}

释放二叉树

template <class DataType>
void BiTree<DataType>::Release(BiNode<DataType> *bt)
{
    if(bt != NULL){
        Release(bt->lchild);
        Release(bt->rchild);
        delete bt;
    }
}

前序遍历

template <class DataType>
void BiTree<DataType>::PreOrder(BiNode<DataType> *bt)
{
    if(bt == NULL) return;
    else{
        cout<<bt->data;
        PreOrder(bt->lchild);
        PreOrder(bt->rchild);
    }
}

中序遍历

template <class DataType>
void BiTree<DataType>::InOrder(BiNode<DataType> *bt)
{
    if(bt == NULL) return;
    else{
        InOrder(bt->lchild);
        cout<<bt->data;
        InOrder(bt->rchild);
    }
}

后序遍历

template <class DataType>
void BiTree<DataType>::PostOrder(BiNode<DataType> *bt)
{
    if(bt == NULL) return;
    else{
        PostOrder(bt->lchild);
        PostOrder(bt->rchild);
        cout<<bt->data;
    }
}

满二叉树

一棵深度为k且有 $2^k-1$ 个结点的二叉树称为满二叉树。

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满二叉树的性质：

1) 一颗树深度为 $h$ ，最大层数为 $k$ ，深度与最大层数相同， $k=h$ ;

2) 叶子数为 $2h$ ;

3) 第k层的结点数是： $2^{k-1}$ ;

4) 总结点数是： $2^k-1$ ，且总节点数一定是奇数。

完全二叉树

深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

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注：完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化，二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。

二叉排序树

二叉查找树定义：又称为是二叉排序树（Binary Sort Tree）或二叉搜索树。

二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉排序树。

平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。（注：平衡二叉树应该是一棵二叉排序树）