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问题引入：
在上一篇文章中，我们提到了二叉搜索树在插入时，可能会形成单边树，会降低二叉搜索的性能。因此我们需要平衡二叉搜索树，降低二叉搜索树的高度，使得二叉搜索树趋于一颗完全二叉树的样子，这样就可以提高二叉搜索树的性能。本篇文章就来介绍一种平衡二叉树，AVL树。
1、AVL树
1.1 AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log N)，搜索时间复杂度O(log N)。
我们了解了AVL树的基本规则后，下面我们来实现一下AVL树。
2、AVL树节点的定义
template <class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
// 右子树 - 左子树 的高度差
int _bf; // 平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{
}
};
3、AVL树的插入和旋转
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
当某个节点的平衡因子被修改为2的时候，就需要旋转来调节，因此就存在一下四种旋转方式：
3.1 左单旋
我们将 左单旋的情况抽象出来，如下图所示：
当 h >= 0，且parent->_bf == 2 && subR->_bf == 1时，触发左旋。
在这个图中，只能是在 c 子树新增，才能触发左旋的条件parent->_bf == 2 && subR->_bf == 1。此时进行左旋。
如果是在 b 子树新增，那么仅仅左旋是不够的，
旋转步骤：将60的左树变为30的右树，将60的左树变为30，最后将parent和subR的平衡因子变为0就完成了左旋。
左旋代码实现
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (_root == parent) // 父节点就是根节点
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else // 子树情况
{
if (parentParent->_left == parent)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
// 修改平衡因子
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
3.2 右单旋
我们将 右单旋的情况抽象出来，如下图所示：
当 h >= 0，且 parent->_bf == 2 && subL->_bf == -1时，触发右旋。
在这个图中，只能是在 a子树新增，才能触发右旋的条件parent->_bf == -2 && subL->_bf == -1。此时进行右旋。
如果是在 b 子树新增，那么仅仅右旋是不够的。
旋转步骤：将30的右树接到60的左树并断开与30的链接，再将60接到30的右树，并将60的父节点改为3，最后再调整parent与SubL的平衡因子为0，就完成整个右旋。
右旋代码实现
// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* parentParent = parent->_parent;
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (_root == parent) // 父节点是根节点
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else // 子树情况
{
if (parentParent->_left == parent)
{
parentParent->_left = subL;
}
else
{
parentParent->_right = subL;
}
subL->_parent = parentParent;
}
// 修改平衡因子
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
3.3 右左双旋
我们将 右左双旋的所有情况抽象出来，如下图所示：
右左双旋的本质是先将子树右旋，让右侧一侧高，再进行整体的左旋，这样就完成了高度的调整。
双旋的插入位置可以是 b/c 子树，此类型插入之后就会触发右左双旋。
旋转步骤：直接复用右旋，再复用左旋即可。不过旋转的基点不同，右旋是以subR为基点，左旋是以parent为基点旋转的。旋转就完成了，难点在于平衡因子的调节。
平衡因子的调节：
这里主要是 记下subRL最初的平衡因子，它的平衡因子就代表了插入节点是在subRL的左边还是右边插入的，由此可以推出最终的parent与subR的平衡因子。
- 当subRL->_bf = 1时，最后parent->_bf = -1，subR->_bf = 0，subRL->_bf = 0;
- 当subRL->_bf = -1时，最后parent->_bf = 0，subR->_bf = 1，subRL->_bf = 0;
- 当subRL->_bf = 0时，最后parent->_bf = 0，subR->_bf = 0，subRL->_bf = 0;
右左双旋的代码实现
// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 0) // subRL 就是插入的
{
parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) // subRL 右边边插入
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1) // subRL 左边插入
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
3.4 左右双旋
我们将 右左双旋的所有情况抽象出来，如下图所示：
左右双旋与右左双旋的思路是差不多的，我们来看看。
左右双旋的本质是先将子树左旋，让左侧一侧高，在进行整体的右旋,这样就完成了高度的调整。
双旋的插入位置可以是 b/c 子树，此类型插入之后就会触发左右双旋。
旋转步骤：直接复用左旋，再复用右旋即可。不过旋转的基点不同，右旋是以subR为基点，左旋是以parent为基点旋转的。旋转就完成了，难点也是在于平衡因子的调节。
平衡因子的调节：
这里主要是 记下subLR最初的平衡因子，它的平衡因子就代表了插入节点是在subLR的左边还是右边插入的，由此可以推出最终的parent与subL的平衡因子。
- 当subLR->_bf = 1时，最后parent->_bf = 1，subL->_bf = 0，subLR->_bf = 0;
- 当subLR->_bf = 1时，最后parent->_bf = 0，subL->_bf = -1，subLR->_bf = 0;
- 当subLR->_bf = 0时，最后parent->_bf = 0，subL->_bf = 0，subLR->_bf = 0;
左右双旋的代码实现
// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(subL);
RotateR(parent);
if (0 == bf)
{
parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else if (1 == bf)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (-1 == bf)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
3.5 insert接口实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
// 1、先找到插入的位置
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
// 2、new一个节点，并与parent链接起来
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 3、调平横 —— 旋转 + 平衡因子的调节
while (parent)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (0 == parent->_bf)
{
break;
}
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
// 1、旋转让这颗子树平衡了
// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
4、判断是否为AVL树
AVL树的本质是搜索二叉树 + 平衡机制，所以验证步骤：
1、首先判断是否为搜索树，写一个中序遍历，看看是不是升序即可；
2、按照AVL树的性质来判断：
- 每个节点的左右子树高度差绝对值小于等于1；
- 节点的平衡因子是否正确；
判断AVL树的代码实现
bool _IsBalance(Node* pRoot)
{
if (pRoot == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(pRoot->_left);
int rightHeight = _Height(pRoot->_right);
if (rightHeight - leftHeight != pRoot->_bf)
{
cout << pRoot->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return rightHeight - leftHeight < 2
&& _IsAVLTree(pRoot->_left)
&& _IsAVLTree(pRoot->_right);
}
size_t _Height(Node* pRoot)
{
if (pRoot == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(pRoot->_left);
int rightHeight = _Height(pRoot->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
void _InOrder(Node* pRoot)
{
if (pRoot == nullptr)
return;
_InOrder(pRoot->_left);
cout << pRoot->_kv.first << " ";
_InOrder(pRoot->_right);
}
5、AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(log N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
AVL树的实现代码放在代码仓库：https://gitee.com/xiaobai-is-working-hard-jy/data-structure/tree/master/AVLTree