深度学习在线教育平台实践---协同过滤推荐系统

对于商品内容进行分析，进而根据商品内容进行推荐，是一种常用的推荐系统实现技术。但是如果商品种类很多，而且商品的属性很复杂，这样靠人工来标注商品的内容属性，就变得不太现实了。协同过滤技术正是为了解决这一问题而提出的，通过这种技术，我们不需要了解商品本身，只需要通过研究用户与商品这间的交互，就可以精准的向用户推荐他们可能感举趣的商品了。
具体到我们的个性题库系统，如果我们的客户有数以万计的题目，让人工来观看每个题目，然后给出这个题目有多少成份是知识点1，有多少成份是知识点2，是一件工作量非常巨大的事情。而且在实际应用中，我们对每个题目的描述，也不仅仅是知识点1、知识点2两个特征，所以实际应用中工作量非常巨大，这就是基于内容的推荐技术应用较少的原因。
如果我们换个角度来看待这个问题，我们还是用知识点1、知识点2两个特征来描述每个题目，但是我们并不知道每个题目到底是知识点1还是知识点2。为了解决这个问题，我们会评做每个学生，给该学生对知识点1、知识点2的需要程度进行打分，那么我们的研究问题就变成了已经参数集$\{ \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \}$，来求出每部影片样本集$\{ \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, ..., \boldsymbol{x}^{(n_m)} \}$，如下所示：

*	题目	张一	李二	王三	赵四	知识点1	知识点2
$x^{(1)}$	题目1	5	5	0	0	?	?
$x^{(2)}$	题目2	5	？	？	0	?	?
$x^{(3)}$	题目3	？	4	0	？	?	?
$x^{(4)}$	题目4	0	0	5	4	?	?
$x^{(5)}$	题目5	0	0	5	？	?	?

$$\{ \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \}=\Bigg\{ \begin{bmatrix} 0.0\\ 5.0\\ 0.0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0.0\\ 5.0\\ 0.0 \end{bmatrix}， \begin{bmatrix} 0.0\\ 0.0\\ 5.0 \end{bmatrix}， \begin{bmatrix} 0.0\\ 0.0\\ 5.0 \end{bmatrix} \Bigg\}$$
我们的任务就是根据上面的已知条件，推测出每个题目的特征向量 $\boldsymbol{x}^{(i)}$。例如，我们要预测题目 $\boldsymbol{x}^{(1)}$我们知道张一和李二都需要知识点1，而对知识点2掌握程度较好，而王三和赵四都非常需要知识点2，对知识点1掌握程度较好。通过上表可以看到，张一和李二对题目1的需要程度都是5分，而王三和赵四的需要程度则为0分，综合上面的信息，我们不难推测出题目1是知识点1的题目，而不是知识点2的题目，所以 $\boldsymbol{x}^{(1)}$的值为：
$$\boldsymbol{x}^{(1)}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{x}^{(1)}_0\\ \boldsymbol{x}^{(1)}_1\\ \boldsymbol{x}^{(1)}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.0\\ 1.0\\ 0.0 \end{bmatrix}$$
注意，在上面的表示中 $\boldsymbol{x}^{(1)}_0$始终为1， $\boldsymbol{\theta}^{(0)}$取0，代表偏移量。
那么我们的推测是否正确呢？因为我们已经知道了参数集 $\{ \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \}$，同时知道了当前样本的特征向量 $\boldsymbol{x}^{(1)}$，我们可以很方便地求出每个学生对题目1的需要程度，通过与学生对这个题目的实际需要程度，我们就可以得出我们对x(1)的推测是否正确，学生j对题目i的打分可以通过如下公式计算：
$$\hat{y}^{(i, j)}={ \boldsymbol{\theta}^{(j)} }^2 \boldsymbol{x}^{(i)}$$
具体计算过程如下所示：
$$\hat{y}^{(1, 1)}={ \boldsymbol{\theta}^{(1)} }^2 \boldsymbol{x}^{(1)}=\begin{bmatrix} 0.0\\ 5.0\\ 0.0 \end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} 1.0\\ 1.0\\ 0.0 \end{bmatrix}=5.0$$
$$\hat{y}^{(1, 2)}={ \boldsymbol{\theta}^{(2)} }^2 \boldsymbol{x}^{(1)}=\begin{bmatrix} 0.0\\ 5.0\\ 0.0 \end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} 1.0\\ 1.0\\ 0.0 \end{bmatrix}=5.0$$
$$\hat{y}^{(1, 3)}={ \boldsymbol{\theta}^{(3)} }^2 \boldsymbol{x}^{(1)}=\begin{bmatrix} 0.0\\ 0.0\\ 5.0 \end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} 1.0\\ 1.0\\ 0.0 \end{bmatrix}=0.0$$
$$\hat{y}^{(1, 4)}={ \boldsymbol{\theta}^{(4)} }^2 \boldsymbol{x}^{(1)}=\begin{bmatrix} 0.0\\ 5.0\\ 0.0 \end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} 1.0\\ 1.0\\ 0.0 \end{bmatrix}=5.0$$
从上面可以看出，我们的计算结果与学生的实际需求程度结果是一致的，这证明我们对 $\boldsymbol{x}^{(1)}$的预测是准确的。
这就引出了我们的协同过滤算法，对于题目i，我们首先需要选取适当的 $\boldsymbol{x}^{(i)}$，使得我们预测出的学生对题目i的需要程度与用户实际对题目i的需要程度误差得到最小值，我们假设 $m^{(i)}$为影片i的所有评分数量：
$$\min_{\boldsymbol{x}^{(i)}} { \frac{1}{2m^{(i)}} } \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2$$
为了提高模型的范化能力，我们在上式上加入 $L_2$调整项，表明我们希望参数 $\boldsymbol{x}^{(i)}$的2范式平方最小，即参数值越小越好，如下所示：
$$\min_{\boldsymbol{x}^{(i)}} \Bigg( { \frac{1}{2m^{(i)}} } \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2 + \\ \frac{\lambda}{2m^{(i)}} \sum_{k=1}^{n} {x _k ^{(i)}}^2 \Bigg)$$
与上一节类似，我们也去掉不影响取得极小值的 $m^{(i)}$，得到最终的代价函数为：
$$\min_{\boldsymbol{x}^{(i)}} \Bigg( { \frac{1}{2} } \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2 + \\ \frac{\lambda}{2} \sum_{k=1}^{n} {x _k ^{(i)}}^2 \Bigg)$$
我们不仅需要学习题目i的参数向量 $\boldsymbol{x}^{(i)}$，我们需要学习所有题目参数向量 $\{ \boldsymbol{x} ^{(1)}, \boldsymbol{x} ^{(2)}, \boldsymbol{x} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{x} ^{(n_m)} \}$，所以代价函数就变为如下式所示：
$$\min_{ \boldsymbol{x} ^{(1)}, \boldsymbol{x} ^{(2)}, \boldsymbol{x} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{x} ^{(n_m)} } \Bigg( { \frac{1}{2} } \sum_{i=1}^{n_m} \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2 + \\ \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{n_m} \sum_{k=1}^{n} {x _k ^{(i)}}^2 \Bigg)$$
通过上面的讨论，我们可以得到代价函数为：
$$J(\boldsymbol{x} ^{(1)}, \boldsymbol{x} ^{(2)}, \boldsymbol{x} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{x} ^{(n_m)}) =\\ \min_{ \boldsymbol{x} ^{(1)}, \boldsymbol{x} ^{(2)}, \boldsymbol{x} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{x} ^{(n_m)} } \Bigg( { \frac{1}{2} } \sum_{i=1}^{n_m} \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2 + \\ \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{n_m} \sum_{k=1}^{n} {x _k ^{(i)}}^2 \Bigg)$$
我们采用梯度下降算法，可以得到如下公式：
当 $k=1,…,n$时：
$$\boldsymbol{x}_k ^{(i)}=\boldsymbol{x}_k ^{(i)}- \alpha \Bigg( \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) \boldsymbol{\theta}_k^{(j)} + \lambda\boldsymbol{x}^{(i)}_k \Bigg)$$
式中 $\alpha$为超参数学习率，需要人工设定。
在有了上两节介绍的算法之后，我们就可以根据我们的实际情况，应用其中的一种算法，来进行推荐了。在实践中，我们其实可以将两种方法结合起来，取得更好的推荐效果。我们首先确定题目的特征向量，例如在本例中知识点1、知识点2特征，然后我们估计每个学生对这些特征的需要程度，即估计参数集 $\{ \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \}$，然后我们运行协同过滤算法，学习出每个题目的特征向量。接着我们以新学习出来的特征向量为基础，通过内容推荐算法，重新学习出新的参数集 $\{ \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \}$，此时的参数集会比我们开始时的估计值要好很多。我们可以再以新的参数集为输入，利用协同过滤算法求出每道题目的特征向量，这个过程可以一直进行下去，直到得到令人满意的结果。
但是这种方法有一个缺点，就是要运行两个独立的线性回归模型，效率比较低下。在下一节中，我们将介绍将两个算法结合起来，一次可以同时学习参数集和特征向量。