深度学习在线教育平台实践---深度学习推荐算法

在本节中，我们将基于内容的推荐算法，与基于协同过滤的推荐算法，集合在一起，形成深度学习推荐算法，同时为了提高运行效率，我们还将介绍算法的向量表示。
在这里我们希望同时学习学生对题目需要程度的参数集$\{ \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \}$和每道题目的特征向量$\{ \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, ..., \boldsymbol{x}^{(n_m)} \}$，我们可以将上两节的代价函数进行合并，上两节的代价函数如下所示：

$$J\bigg( \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \bigg)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n_u} \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^2 \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg)^2 + \frac{\lambda}{2} \sum_{j=1}^{n_u} \sum_{k=1}^{n} {\boldsymbol{\theta}_k^{(j)}}^2$$
$$J\bigg( \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, ..., \boldsymbol{x}^{(n_m)} \bigg)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n_m} \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^2 \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg)^2 + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{n_m} \sum_{k=1}^{n} {\boldsymbol{x}_k^{(i)}}^2$$
我们先来分析第一项也就是平方和叠加项，第一个公式的意思是对每个用户，求出该用户所有打过分的影片，求出计算出的打分与用户实际打分之间误差的平方和，第二个公式的意思是对每部影片，求出所有对这部影片打过分的用户，求出计算出的打分与用户实际打分之间误差的平方和。实际上，这两个求误差平方和项计算出来的结果都是所有打过分的影片，计算的打分值与实际打分值之差的平方和，即这两项都等价于：
$$\sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^2 \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg)^2$$
所以我们得到新的代价函数公式为：
$$J\bigg( \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, ..., \boldsymbol{x}^{(n_m)} , \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \bigg)=\\ \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^2 \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg)^2 + \\ \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{n_m} \sum_{k=1}^{n} {\boldsymbol{x}_k^{(i)}}^2 + \frac{\lambda}{2} \sum_{j=1}^{n_u} \sum_{k=1}^{n} {\boldsymbol{\theta}_k^{(j)}}^2$$
我们学习算法要优化的目标就变为：
$$\min_{ \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, ..., \boldsymbol{x}^{(n_m)} \\ \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} } J\bigg( \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, ..., \boldsymbol{x}^{(n_m)} , \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \bigg)$$
与之前算法不同的是，我们这里不再需要传统线性回归 $y=\boldsymbol{w}\boldsymbol{x} + b$因为根据上一节内容， $\boldsymbol{\theta}^{(0)}=0$，所以我们不再需要向 $\boldsymbol{x}$和 $\boldsymbol{\theta}$上添加第0维了，因此 $\boldsymbol{x} \in R^n, \boldsymbol{\theta} \in R^n$，在我们这个问题中 $n=2$，表示题目是知识点1还是知识点2。
我们首先利用随机数初始化 $\{ \boldsymbol{\theta}^{(1)}, \boldsymbol{\theta}^{(2)}, ..., \boldsymbol{\theta}^{(n_u)} \}$和每道题目的特征向量 $\{ \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, ..., \boldsymbol{x}^{(n_m)} \}$为小的随机数。
对于 $i=1,…,n_m;k=1,…,n$：
$$x_k^{(i)}=x_k^{(i)}-\alpha \Big( \sum_{i:r(i,j)=1} \big( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \big) \theta_k^{(j)} + \lambda x_k^{(i)} \Big)$$
对于 $j=1,…,n_u;k=1,…,n$：
$$\theta_k^{(j)}=\theta_k^{(j)}-\alpha \Big( \sum_{i:r(i,j)=1} \big( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \big) x_k^{(i)} + \lambda \theta_k^{(j)} \Big)$$
当训练完成之后，如果学生j没有见过题目i，我们希望预测学生j对题目i的需要程度，进而决定是否向学生j推荐题目i，方法如下所示：
$${\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)}$$
得到这个值之后，我们就可以决定是否向学生j推荐题目i了。
在前面章节中，我们讨论算法时都是用下标形式来讨论的，这样做的好处是比较直观，我们很容易理解算法。但是在实际应用中，如果直接应用前面章节中的公式，那么计算效率将是比较低的。因此，我们通常将算法转化为矩阵运算形式。
我们来看我们所研究的数据集：

*	题目	张一	李二	王三	赵四
$x^{(1)}$	题目1	5	5	0	0
$x^{(2)}$	题目2	5	？	？	0
$x^{(3)}$	题目3	？	4	0	？
$x^{(4)}$	题目4	0	0	5	4
$x^{(5)}$	题目5	0	0	5	？

我们可以将上述评分结果，组成一个结果矩阵Y，如下所示：

$$Y=\begin{bmatrix} 5.0&5.0&0.0&0.0\\ 5.0&?&？&0.0\\ ?&4.0&0.0&?\\ 0.0&0.0&5.0&4.0\\ 0.0&0.0&5.0&? \end{bmatrix}$$
由上面定义可以看出， $Y \in R^{n_m \times n_u}$，即行对应于某道题目，列对应于某个用户。我们以前的 $y^{(i,j)}=Y_{i,j}={\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)}$。
则结果矩阵可以表示为：
$$Y=\begin{bmatrix} 5.0&5.0&0.0&0.0\\ 5.0&?&？&0.0\\ ?&4.0&0.0&?\\ 0.0&0.0&5.0&4.0\\ 0.0&0.0&5.0&? \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\boldsymbol{\theta}^{(1)}}^T \boldsymbol{x}^{(1)} & {\boldsymbol{\theta}^{(2)}}^T \boldsymbol{x}^{(1)} & {\boldsymbol{\theta}^{(3)}}^T \boldsymbol{x}^{(1)} & {\boldsymbol{\theta}^{(4)}}^T \boldsymbol{x}^{(1)}\\ {\boldsymbol{\theta}^{(1)}}^T \boldsymbol{x}^{(2)} & {\boldsymbol{\theta}^{(2)}}^T \boldsymbol{x}^{(2)} & {\boldsymbol{\theta}^{(3)}}^T \boldsymbol{x}^{(2)} & {\boldsymbol{\theta}^{(4)}}^T \boldsymbol{x}^{(2)}\\ {\boldsymbol{\theta}^{(1)}}^T \boldsymbol{x}^{(3)} & {\boldsymbol{\theta}^{(2)}}^T \boldsymbol{x}^{(3)} & {\boldsymbol{\theta}^{(3)}}^T \boldsymbol{x}^{(3)} & {\boldsymbol{\theta}^{(4)}}^T \boldsymbol{x}^{(3)}\\ {\boldsymbol{\theta}^{(1)}}^T \boldsymbol{x}^{(4)} & {\boldsymbol{\theta}^{(2)}}^T \boldsymbol{x}^{(4)} & {\boldsymbol{\theta}^{(3)}}^T \boldsymbol{x}^{(4)} & {\boldsymbol{\theta}^{(4)}}^T \boldsymbol{x}^{(4)}\\ {\boldsymbol{\theta}^{(1)}}^T \boldsymbol{x}^{(5)} & {\boldsymbol{\theta}^{(2)}}^T \boldsymbol{x}^{(5)} & {\boldsymbol{\theta}^{(3)}}^T \boldsymbol{x}^{(5)} & {\boldsymbol{\theta}^{(4)}}^T \boldsymbol{x}^{(5)} \end{bmatrix}$$
我们令设计矩阵X为：
$$X=\begin{bmatrix} {\boldsymbol{x}^{(1)}}^T\\ {\boldsymbol{x}^{(2)}}^T\\ {\boldsymbol{x}^{(3)}}^T\\ {\boldsymbol{x}^{(4)}}^T\\ {\boldsymbol{x}^{(5)}}^T\\ \end{bmatrix}$$
其中 $X \in R^{n_m \times n}$的矩阵。
上式中两侧的横线代有将列向量转置为行向量，同样我们令参数矩阵 $\Theta$为：
$$\Theta=\begin{bmatrix} {\boldsymbol{\theta}^{(1)}}^T\\ {\boldsymbol{\theta}^{(2)}}^T\\ {\boldsymbol{\theta}^{(3)}}^T\\ {\boldsymbol{\theta}^{(4)}}^T\\ {\boldsymbol{\theta}^{(5)}}^T\\ \end{bmatrix}$$
其中 $\Theta \in R^{n_u \times n}$。
有了上面两个定义，我们就可以将结果矩阵表示为：
$$Y=X \cdot \Theta^T=\begin{bmatrix} {\boldsymbol{x}^{(1)}}^T\\ {\boldsymbol{x}^{(2)}}^T\\ {\boldsymbol{x}^{(3)}}^T\\ {\boldsymbol{x}^{(4)}}^T\\ {\boldsymbol{x}^{(5)}}^T\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\boldsymbol{\theta}^{(1)}} & {\boldsymbol{\theta}^{(2)}} & {\boldsymbol{\theta}^{(3)}} & {\boldsymbol{\theta}^{(4)}} \end{bmatrix}$$
上面讨论的是前向传播问题，而在计算梯度和利用随机梯度下降算法来进行学习时，还需要用我们之前介绍的公式来计算。
有了这些理论知识之后，我们就可以来解决一类非常常见的推荐问题了，例如学生j观做过题目i，我们就可以向学生j推荐5个他可能需要的题目了。
我们首先取出题目 $i$的特征向量 $\boldsymbol{x}^{(i)}$，然后对所有其他题目算出欧式距离 $d^{(l)}$：
$$d^{(l)}=\Vert \boldsymbol{x}^{(i)} -\boldsymbol{x}^{(l)} \Vert^2_2, \quad l=1,2,...,n_m且l\ne i$$
对于所有 $d^{(l)}$按从小到大进行排序，选出其中距离值最小的5个，就可以作为结果推荐给用户 $j$了。
这里面实际上还有一个问题，如果我们有成千上万部影片，我们算出某部影片的与其他所有影片的欧式距离，并从小到大排序，最后选出5个最小的推荐给用户，这将花费很长时间，用户肯定不愿意等待那么长时间。怎么解决这一问题呢？我们可以通过一个定时启动的后台线程，算出所有影片之间的欧式距离，并按从小到大排序，然后缓存在NoSQL数据库中，这样需要向用户推荐时，直接返回缓存中结果就可以了。如果我们定时启动的后台线程运行频率足够的话，我们就可以得到相对实时的效果了。
在这一节中，我们讲述了基于深度学习的推荐系统。但是在这里我们有一个实际问题，我们一直没有讨论，就是推荐系统的冷启动问题，如何从对学生一无所知开始进行推荐，这是一个非常实际的问题，在下一节中，我们将讨论怎样解决这个问题。