深度学习在线教育平台实践---内容推荐系统2

基于内容的推荐系统是根据内容的特征来进行推荐，如文本信息的词向量，商品的属性等信息，我们这里则是根据题目的知识点来进行推荐。
根据上篇博文的内容，我们可以将题目样本表示为如下形式：

$$\boldsymbol{x}^{(1)}=\begin{bmatrix} x^{(1)}_0\\ x^{(1)}_1\\ x^{(1)}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.0\\ 0.9\\ 0.0 \end{bmatrix}$$
$$\boldsymbol{x}^{(2)}=\begin{bmatrix} x^{(2)}_0\\ x^{(2)}_1\\ x^{(2)}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.0\\ 1.0\\ 0.01 \end{bmatrix}$$
$$\boldsymbol{x}^{(3)}=\begin{bmatrix} x^{(3)}_0\\ x^{(3)}_1\\ x^{(3)}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.0\\ 0.99\\ 0.0 \end{bmatrix}$$
$$\boldsymbol{x}^{(4)}=\begin{bmatrix} x^{(4)}_0\\ x^{(4)}_1\\ x^{(4)}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.0\\ 0.1\\ 1.0 \end{bmatrix}$$
$$\boldsymbol{x}^{(5)}=\begin{bmatrix} x^{(5)}_0\\ x^{(5)}_1\\ x^{(5)}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.0\\ 0.0\\ 0.9 \end{bmatrix}$$
在这里我们设样本特征向量x的维度为n，则n=2，注意这里不包括我们为了计算方便而添加的输助 $x_0$。
为了解决用户对未知题目打分预测问题，我们引入参数向量 $\boldsymbol{\theta} \in R^{n+1}=R^3$。对于每个学生我们都用一个参数向量 $\boldsymbol{\theta} \in R^{n+1}$，来描述，则我们的参数集为： $\{ \boldsymbol{\theta} ^{(1)}, \boldsymbol{\theta} ^{(2)}, \boldsymbol{\theta} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{\theta} ^{(n_u)} \}=\{ \boldsymbol{\theta} ^{(1)}, \boldsymbol{\theta} ^{(2)}, \boldsymbol{\theta} ^{(3)}, \boldsymbol{\theta} ^{(4)} \}$。假设我们要预测学生张一对第三个题目3的需要程度，我们首先找到描述这个题目的特征向量：
假设我们要预测用户张一对第三个题目3的需要程度，我们首先找到描述这个题目的特征向量：
$$\boldsymbol{x}^{(3)}=\begin{bmatrix} x^{(3)}_0\\ x^{(3)}_1\\ x^{(3)}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1.0\\ 0.99\\ 0.0 \end{bmatrix}$$
如果我们已经知道参数集的值，例如对于张一来说，其对应的参数为：
$$\boldsymbol{\theta}^{(1)}=\begin{bmatrix} 0.0\\ 5.0\\ 0.0 \end{bmatrix}$$
那么张三对题目3的需要程度可以通过下式来计算：
$${\boldsymbol{\theta}^{(1)}}^T \cdot \boldsymbol{x}^{(3)}=\begin{bmatrix} 0.0\\ 5.0\\ 0.0 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 1.0\\ 0.99\\ 0.0 \end{bmatrix} \\ =5.0 \times 0.99 = 4.95$$
所以我们预测张一将对题目3的需要程度为4.95分，那么这个分数是否合理呢？我们看到，张一对知识点1基本都非常需要练习，而对知识点2基本不需要再练习，对同样是知识点1的题目3需要程度为4.95分是比较合理的，因此我们认为是一个合理的预测结果。如果我们将这个题目推荐给张一，他就很可能补足其在知识点1上的漏洞。
如果我们预先知道参数集 $\{ \boldsymbol{\theta} ^{(1)}, \boldsymbol{\theta} ^{(2)}, \boldsymbol{\theta} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{\theta} ^{(n_u)} \}$的值，我们就可以很容易的预测出学生j对题目i的需要程度。但是我们是不可能预先知道这些参数的值的，因此我们的问题就变成怎样求出参数集的值。
我们先引入一个变量 $m^{(j)}$，代表学生j做过题目的总数。
对于学生j，我们要通过学习得到 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$，我们的学习任务可以表述为：选取适当的 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$，使得下式所表示的误差值最小：
$$\min_{\boldsymbol{\theta}^{(j)}} { \frac{1}{2m^{(j)}} } \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2$$
上式中叠加i:r(i,j)=1表示对学生j所有做过的题目，我们利用参数 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$计算出该学生对题目i的需要程度，求出其与学生j对题目i的真实需要程度的偏差，并取平方，然后将所有题目的平方差相加，得到总的平方和误差，再除以用户j打过分影片的数量，得到一个平均值，我们的任务就是通过选择合适的 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$，使得这个值达到最小。
在实际算法中，我们要会加上一个 $L_2$调整项，表明我们希望参数 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$的长度（2范式）平方最小，即参数值越小越好，如下所示：
$$\min_{\boldsymbol{\theta}^{(j)}} \Bigg( { \frac{1}{2m^{(j)}} } \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2 + \\ \frac{\lambda}{2m^{(j)}} \sum_{k=1}^{n} {\theta _k ^{(j)}}^2 \Bigg)$$
式中第二项为权值衰减项（Weight Decay），λ代表我们希望调整项起的作用，λ取较小值时，调整效果小，取较大值时调整效果大，取0时相当于没有调整。另外，还需要注意的是，式中k=1开始，因为我们第0维表示的是偏移量b，而我们通常不调整偏移量，所以k=1开始，n为特征向量维数，在我们这个问题中n=2。
因为式中的 $m^{(j)}$是一个常量，求最小值时，去掉也不会影响最终结果，为了简化运算，我们去掉 $m^{(j)}$，可以得到学习参数 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$的代价函数：
$$\min_{\boldsymbol{\theta}^{(j)}} \Bigg( { \frac{1}{2} } \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2 + \\ \frac{\lambda}{2} \sum_{k=1}^{n} {\theta _k ^{(j)}}^2 \Bigg)$$
我们不仅需要学习学生j的参数向量 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$，我们需要学习所有学生参数向量 $\{ \boldsymbol{\theta} ^{(1)}, \boldsymbol{\theta} ^{(2)}, \boldsymbol{\theta} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{\theta} ^{(n_u)} \}$，所以代价函数就变为如下式所示：
$$\min_{ \boldsymbol{\theta} ^{(1)}, \boldsymbol{\theta} ^{(2)}, \boldsymbol{\theta} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{\theta} ^{(n_u)} } \Bigg( { \frac{1}{2} } \sum_{j=1}^{n_u} \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2 + \\ \frac{\lambda}{2} \sum_{j=1}^{n_u} \sum_{k=1}^{n} {\theta _k ^{(j)}}^2 \Bigg)$$
通过上面的讨论，我们可以得到代价函数为：
$$J(\boldsymbol{\theta} ^{(1)}, \boldsymbol{\theta} ^{(2)}, \boldsymbol{\theta} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{\theta} ^{(n_u)}) =\\ \min_{ \boldsymbol{\theta} ^{(1)}, \boldsymbol{\theta} ^{(2)}, \boldsymbol{\theta} ^{(3)}, ..., \boldsymbol{\theta} ^{(n_u)} } \Bigg( { \frac{1}{2} } \sum_{j=1}^{n_u} \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) ^2 + \\ \frac{\lambda}{2} \sum_{j=1}^{n_u} \sum_{k=1}^{n} {\theta _k ^{(j)}}^2 \Bigg)$$
我们采用梯度下降算法，可以得到如下公式：
$$\boldsymbol{\theta}_0 ^{(j)}=\boldsymbol{\theta}_0 ^{(j)}- \alpha \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) \boldsymbol{x}_0^{(i)}$$
当 $k=1,…,n$时：
$$\boldsymbol{\theta}_k ^{(j)}=\boldsymbol{\theta}_k ^{(j)}- \alpha \Bigg( \sum_{i:r(i,j)=1} \bigg( {\boldsymbol{\theta}^{(j)}}^T \boldsymbol{x}^{(i)} - y^{(i, j)} \bigg) \boldsymbol{x}_k^{(i)} + \lambda\boldsymbol{\theta}^{(j)} \Bigg)$$
式中 $\alpha$为超参数学习率，需要人工设定。
以上就是基于内容的推荐系统，其核心原理就是通过对每道题目的知识点进行人工标注，同时根据学生做题情况，推出学习对知识点的掌握情况，最后根据这些信息来进行推荐。在下一小节中，我们将向大家介绍另一类推荐算法，即基于深度学习技术的协同过滤算法。

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