【10】斐波那契数列的循环和递归实现

面试题10：斐波那契数列

【0】目录：

【1】题目
【2】分析
【3】测试代码
【4】测试结果
【5】算法优劣分析

【1】题目：

写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。

斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89 ……
这里写图片描述

【2】分析：

在斐波那契数列中，不难得出规律，当n > 2时，某个数等于前两位数之和，如： 2 = 1+ 1；3 = 1+ 2； 5 = 2 +3……
那么我们可以分为三个部分来求解，如下所示：
这里写图片描述

【3】测试代码：

#include<iostream>
using namespace std;
 //========================循环实现===============================
long long Fibonacci01(unsigned int n )
{
    int result[2]={0,1}; 
     if (n < 2)
        {
            return result[n];
         }
    long long fib1 = 0;
    long long fib2 = 1;
    long long fibn = 0;
    for(int i = 2; i<= n ;++i )
    {
        fibn = fib1+fib2;
        fib1 = fib2;
        fib2 =fibn;
    }
    return fibn;
}

//===========================递归实现================================
long long Fibonacci02(unsigned int n)
{
    if(n <= 0)
    {
        return 0;
    }
    if(n == 1)
    {
        return 1;
    }
    if(n >= 2)
        return Fibonacci02( n - 1)+Fibonacci02( n - 2) ;
}

//====================测试代码========================
void test()
{
    long long ret1 = 0,ret2 = 0 ;
    int  n = 0;
    printf("请输入待求斐波那契数的数:\n");
    scanf( "%d", &n );
    ret1 = Fibonacci01(  n );
    ret2 = Fibonacci02(  n ); 


    printf("循环实现第%d个斐波那契数ret1为： %lld\n",n, ret1);
    printf("递归实现第%d个斐波那契数ret2为： %lld\n",n, ret2);

}

int main()
{
    test();
    return 0;
}

【4】测试结果如下：

这里写图片描述

【5】算法优劣分析：

上面我们采用了循环和递归分别求第n个斐波那契数，那么这两种方式各有优缺点：
递归算法：
递归的本质是将一个难以解决的大问题分解成若干个小的模块，每个小模块再来求解；递归的底层是用栈来实现的；递归用来解决这个问题，显然是合适的；优点：代码量少，逻辑清晰、算法一目了然；缺点：在求斐波那契数列的时候，会大量的重复调用现象，如下图所示，（ f ( 6 ) 计算了4次）这些重复的操作会占用大量的时间，因此，当所求的斐波那契数过大时，效率不高，当输入40时，明显要等几秒，结果才会出来，当数字过大时，将无法计算；另外，在函数调用的时候，会开辟空间，而每个进程的栈容量都是有限的，这就容易造成栈溢出；显然，使用递归算法，那么，算法的时间复杂度O 是以n的指数的方式递增的；
这里写图片描述
循环算法：
只要递归能实现的地方，基本都可以通过循环实现，循环看似比较繁琐，但实际上，是最实用的一种方案,我们可以将已经得到的中间项保存起来，下次计算的时候，先查找一下，如果之前计算过了，就不再重复计算了，显然这种方法的时间复杂度为O（n）