L1 L2正则的讲解 机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

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机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

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                                            <span class="time">2016年09月04日 18:49:27</span>
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            <span class="read-count">阅读数：80027</span>
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            <h1 id="正则化regularization"><a name="t0"></a>正则化（Regularization）</h1>

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作ℓ1” role=”presentation”>ℓ1ℓ1-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1” role=”presentation”>α||w||1α||w||1即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||22” role=”presentation”>α||w||22α||w||22即为L2正则化项。

一般回归分析中回归w” role=”presentation”>ww表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

• L1正则化是指权值向量w” role=”presentation”>ww
• L2正则化是指权值向量w” role=”presentation”>ww

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α” role=”presentation”>αα表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

• L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
• L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

L1正则化和特征选择

假设有如下带L1正则化的损失函数：

(1)J=J0+α∑w|w|” role=”presentation”>J=J0+α∑w|w|(1)(1)J=J0+α∑w|w|

其中 J0” role=”presentation”>J0J0的二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

图中等值线是J0” role=”presentation”>J0J0其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α” role=”presentation”>αα可以取到很小的值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

(2)J=J0+α∑ww2” role=”presentation”>J=J0+α∑ww2(2)(2)J=J0+α∑ww2

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0” role=”presentation”>J0J0等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ” role=”presentation”>θθ是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：

(3)J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2” role=”presentation”>J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2(3)(3)J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数 θ” role=”presentation”>θθ的迭代式为：

(4)θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)” role=”presentation”>θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(4)(4)θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)

其中 α” role=”presentation”>αα是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

(5)θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)” role=”presentation”>θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(5)(5)θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)

其中 λ” role=”presentation”>λλ是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数

通常越大的λ” role=”presentation”>λλ可以让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有如下带L1正则化项的代价函数：

F(x)=f(x)+λ||x||1” role=”presentation”>F(x)=f(x)+λ||x||1F(x)=f(x)+λ||x||1

其中 x” role=”presentation”>xx时取到最小值。如下图：

图3 L1正则化参数的选择

分别取λ=0.5” role=”presentation”>λ=0.5λ=0.5时取到最小值。

L2正则化参数

从公式5可以看到，λ” role=”presentation”>λλ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。

Reference

过拟合的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html

正则化的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html

正则化的解释：
http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

正则化的数学解释（一些图来源于这里）：
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

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