机器学习中，如果参数过多，造成模型过于复杂，容易造成过拟合（overfiting），即模型在训练样本数据上表现的很好，但在实际测试样本上表现的较差，即不具有很强的泛化能力。为了避免过拟合，最常用的一种方法是使用正则化，例如 L1 和 L2 正则化，分别对应于回归分析中的Lasso回归和Ridge回归。但是，正则化项如何得来？其背后的数学原理是什么？L1 正则化和 L2 正则化之间有何区别？本人在经过一些书籍和资料的阅读之后，在这里给出直观的解释。
（一）L2 正则化的直观解释
L2 正则化公式非常简单，直接在原来的损失函数（Ein）的基础上加上权重参数的平方和：
其中，Ein 是未包含正则化项的训练样本误差，λ 是正则化参数，超参数可调。但是正则化项是如何推导的？
众所周知，正则化的目的是限制参数过多或者过大，避免模型变得复杂。例如，多项式回归的模型中，如果使用 10 阶多项式，曲线会变得过于曲折，模型过于复杂，容易发生过拟合。因此，为了防止过拟合，我们可以将其高阶部分的权重 w 限制为 0，这样，就相当于从高阶的形式转换为低阶。同理在特征工程方面，也可以通过引入正则化项完成特征选择和维度缩减。
为了达到降阶这一目的，最直观的方法就是限制w的个数，一般的做法是寻找更宽松的限定条件：
上式是对 w 的平方和做数值上界限定，即所有w 的平方和不超过参数 C。这时我们优化的目标就转换为：最小化训练样本误差 Ein，同时要遵循 w 平方和小于C的条件。
下面，我用一张图来说明如何在限定条件下，对 Ein 进行最小化的优化。
图中，蓝色椭圆区域是最小化 Ein 区域，红色圆圈是 w 的限定条件区域。在没有限定条件的情况下，一般使用梯度下降算法，在蓝色椭圆区域内会一直沿着 w 负梯度前进，直到找到全局最优值 wlin。例如空间中有一点 w（图中紫色点），此时 w 会沿着 -∇Ein 的方向移动，如图中蓝色箭头所示。但是，由于存在限定条件，w 不能离开红色圆形区域，最多只能位于圆上边缘位置，沿着切线方向，即w的方向如图中红色箭头所示。
存在限定条件，w 最终会在什么位置取得最优解呢？也就是说在满足限定条件的基础上，尽量让 Ein 最小。
我们来看，w是沿着圆的切线方向运动，如上图绿色箭头所示。运动方向与 w 的方向（红色箭头方向）垂直。运动过程中，根据向量知识，只要-∇Ein与运行方向有夹角，不垂直，即-∇Ein会在w切线方向上产生分量，这样w就会继续运动，寻找下一步最优解。只有当 -∇Ein与w的切线方向垂直时，-∇Ein在 w 的切线方向才没有分量，这时w才会停止更新，到达最接近 wlin 的位置，且同时满足限定条件。
-∇Ein与w的切线方向垂直，即-∇Ein与w的方向平行，从几何的角度上讲，即两个向量存在一个常数的差异。如上图所示，蓝色箭头和红色箭头互相平行。这样，根据平行关系得到：
这样，我们就把优化目标和限定条件整合在一个式子中了。也就是说只要在优化 Ein 的过程中满足上式，就能实现正则化目标。
接下来，根据最优化算法的思想：梯度为0时函数取得最优值。已知∇Ein是Ein的梯度，观察上式，λw 是否也能看成是某个表达式的梯度呢？当然可以，λw 可以看成是 1/2λw*w 的梯度，即：
这样，根据平行关系求得的公式，构造一个新的损失函数：
之所以这样定义，是因为对 Eaug 求导，正好得到上面所求的平行关系式。上式中等式右边第二项就是 L2 正则化项。
这样， 我们从图像化的角度，分析了L2正则化的物理意义，解释了带L2正则化项的损失函数是如何推导而来的。
（二）L1 正则化的直观解释
L1 正则化公式也很简单，直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的绝对值加和：
用一张图来说明如何在 L1 正则化下，对 Ein 进行最小化的优化。
Ein优化算法不变，L1正则化限定了w的有效区域是一个正方形，且满足|w|<C。空间中的点w沿着-∇Ein的方向移动。同样地，w 不能离开红色正方形区域，最多只能位于正方形边缘位置，沿着正方形边缘移动。其推导过程与L2类似，此处不再赘述。
（三）L1与L2解的稀疏性
介绍完 L1 和 L2 正则化的物理解释和数学推导之后，我们再来看看它们解的分布性。
以二维情况讨论，上图左边是L2正则化，右边是L1正则化。从另一个方面看，满足正则化条件，就是求解蓝色区域与黄色区域的相切点，即同时满足限定条件和Ein最小化。对于L2来说，限定区域是圆，这样，得到的解w1或w2为0的概率很小，很大概率是非零的。
然而，对于L1来说，限定区域是正方形，方形与蓝色区域相交的交点是顶点的概率很大，这从视觉和常识上来看是很容易理解的。也就是说，方形的凸点会更接近Ein最优解对应的wlin位置，而凸点处必有w1或w2为0。这样，得到的解w1或w2为零的概率就很大了。所以，L1 正则化的解具有稀疏性，从这个层面上讲，可以在特征工程中实现降维。
扩展到高维，同样的道理，L2 的限定区域是平滑的，与中心点等距；而 L1 的限定区域是包含凸点的，尖锐的。这些凸点更接近 Ein 的最优解位置，而在这些凸点上，很多 wj 为 0。
关于 L1 更容易得到稀疏解的原因，有一个很好的解释，请见下面的链接：
https://www.zhihu.com/question/37096933/answer/70507353
（四）正则化参数 λ
正则化是结构风险最小化策略的一种实现，能够有效降低过拟合。损失函数实际上包含了两个方面：一个是训练样本误差。一个是正则化项。其中，参数 λ 起到了权衡的作用。
以 L2 为例，若 λ 很小，对应上文中的 C 值就很大。这时候，圆形区域很大，能够让 w 更接近 Ein 最优解的位置。若 λ 近似为 0，相当于圆形区域覆盖了最优解位置，这时候，正则化失效，容易造成过拟合。
相反，若 λ 很大，对应上文中的 C 值就很小。这时候，圆形区域很小，w 离 Ein 最优解的位置较远。w 被限制在一个很小的区域内变化，w 普遍较小且接近 0，起到了正则化的效果。但是，λ 过大容易造成欠拟合。
欠拟合和过拟合是两种对立的状态，选取合适的λ来进行正则化，以学习到一个不仅要很好地拟合训练样本，同时具有很强泛化能力，同时模型还要相对简单的模型。