【八皇后问题】
问题： 国际象棋棋盘是8 * 8的方格，每个方格里放一个棋子。皇后这种棋子可以攻击同一行或者同一列或者斜线（左上左下右上右下四个方向）上的棋子。在一个棋盘上如果要放八个皇后，使得她们互相之间不能攻击（即任意两两之间都不同行不同列不同斜线），求出一种（进一步的，所有）布局方式。
■ 描述 & 实现
之前的Python基础那本书上介绍递归和生成器的一张有解过这个问题。书本中对于此问题的解可能更偏重于对于Python语言的应用。然而果然我也是早就忘光了。下面再来从头看看这个问题。
首先，我们想到递归和非递归两类算法来解决这个问题。首先说说递归地算法。
很自然的，我们可以基于行来做判断标准。八个皇后都不同行这是肯定的，也就说每行有且仅有一个皇后，问题就在于皇后要放在哪个列。当然八个列下标也都不能有相同，除此之外还要保证斜线上不能有重叠的皇后。
第一个需要解决的小问题就是，如何用数学的语言来表述斜线上重叠的皇后。其实我们可以看到，对于位于(i,j)位置的皇后而言，其四个方向斜线上的格子下标分别是 (i-n,j+n), (i-n,j-n), (i+n,j-n), (i+n,j+n)。当然i和j的±n都要在[0,7]的范围内，保持不越界。暂时抛开越界限制不管，这个关系其实就是： 目标格子(a,b)和本格子(i,j)在同一条斜线上 等价于 |a - i| == |b - j| 。
然后，从递归的思想来看，我们在从第一行开始给每一行的皇后确定一个位置。每来到新的一行时，对本行的所有可能位置（皇后放在这个位置和前面所有已放置的皇后无冲突）分别进行递归地深入；若某一行可能的位置数为0，则表明这是一条死路，返回上一层递归寻找其他办法；若来到的这一行是第九行（不存在第九行，只不过是说明前八行都已经正确配置，已经得到一个解决方案），这说明得到解决方案。
可以看到，寻找一行内皇后应该摆放的位置这是个递归过程，并且在进入递归时，应该要告诉这个过程的东西包括两个： 1. 之前皇后放置的状态， 2. 现在是第几行。
所以，递归主体函数可以设计为 EightQueen(board, row)，其中board表示的是当前棋盘的状态（比如一个二维数组，0表示未放置，1表示放有皇后的状态）。另外还可以有一个check(board,pos)，pos可以是一个(x,y)元组，check函数用来返回以当前的board棋盘状态，如果在pos再放置一个皇后是否会有冲突。
基于上面的想法，初步实现如下：
def check(board,pos): # check函数暂时先不实现 pass def EightQueen(board,row): blen = len(board) if row == blen: # 来到不存在的第九行了 print board return True # 一定要return一个True，理由在下面 for possibleY in range(blen): if check(board,(row,possibleY)): board[row][possibleY] = 1 # 放置一个Queen if not EightQueen(board,row+1): # 这里其实是本行下面所有行放置皇后的递归入口。但是如果最终这条路没有找到一个解，那么 # 此时应该将刚才放置的皇后收回，再去寻找下一个可能的解 board[row][possibleY] = 0 else: return True return False
最开始，可能在回归返回条件那里面不会想到要return True，而只是return。对应的，下面主循环中放置完Queen之后也只是简单地递归调用EightQueen，不会做逻辑判断。但是很快可以发现这样做存在一个问题，即当某一层递归中for possibleY这个循环走完却没有找到一个合适的解（即本行无合适位置），此时返回上一行，上一行的possibleY右移一格，此时之前放在这一行的Queen的位置仍然是1。这样之后本行的所有check肯定都是通不过的。所以我们需要设计一个机制，使得第一个possibleY没有找到合理的最终解决方案（这里就加上了一个判断条件），要右移一格到下一个possibleY时将本格的Queen收回。
这个判断条件就是如果某层递归for possibleY循环整个走完未找到结果返回False（EightQueen整个函数最后的返回），上一层根据这个False反馈把前一个Queen拿掉；如果找到了某个结果那么就可以一路return True回来，结束函数的运行。
另外，如果只是获取一个解的话，可以考虑在if row == blen的时候，打印出board，然后直接sys.exit(0)。此时就只需要for possibleY循环完了之后return一个False就可以了。当然主循环中对于递归的返回的判断 if not EightQueen还是需要的。
■ 优化
● check函数怎么搞
上面没有实现check函数。其实仔细想一下，如果按照上面的设想来实现check函数还是有点困难的。比如令 x,y = pos，尽管此时我们只需要去检查那些行下标小于x的board中的行，但是对于每一行中我们还是要一个个去遍历，找到相关行中值是1的那个格子（突然发现这个是one-hot模式诶哈哈），然后将它再和x,y这个位置做冲突判断。所以但是这个check函数复杂度就可能会达到O(n^2)，再套上外面的循环，复杂度蹭蹭往上涨。下面是check函数的一个可能的实现：
def check(board,pos): x,y = pos blen = len(board) for i in range(x): for j in range(blen): if board[i][j] == 1: if j == y or abs(j-y) == abs(i-x): return False return True
其实可以看到，我们花了一层循环在寻找某行中的one-hot，那些大量的0值元素是我们根本不关心的。换句话说，对于board这个二维数组，其实我们真正关心的是每行中one-hot值的下标值。自然我们就可以想到，能不能将board转化为一个一维数组，下标本身就代表了board中的某一行，然后值是指这一行中皇后放在第几列。
如果是这样的话，那么程序就需要改造，首先是check函数要根据新的board数据结构做一些调整：
def check(board,row,col): i = 0 while i < row: if abs(col-board[i]) in (0,abs(row-i)): return False i += 1 return True
可以看到，改变二维数组board变为一维数组之后，我们可以在O(1)的时间就确定row行之前每一行摆放的位置，并将其作为参考进行每一行的冲突判断。
然后是主函数的修改：
def EightQueen(board,row): blen = len(board) if row == blen: # 来到不存在的第九行了 print board return True col = 0 while col < blen: if check(board,row,col): board[row] = col if EightQueen(board,row+1): return True col += 1 return False def printBoard(board): '''为了更友好地展示结果 方便观察''' import sys for i,col in enumerate(board): sys.stdout.write('□ ' * col + '■ ' + '□ ' * (len(board) - 1 - col)) print ''
总的结构，和没修改之前是类似的，只不过在主循环中，从上面的possibleY作为游标去设置 - 去除 一个位置的放置状态，这种方式改为了简单的col += 1。改成col+=1的好处就是当某轮递归以失败告终，返回上层递归之后，就不用再去特地收回之前放置好的Queen，而是可以直接让col += 1,。
printBoard函数可以将一维数组的board状态很直观地展现出来：
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■ 所有结果？
上面的程序多只是生成了一个结果，而实际上八皇后可以有很多种可能的布局。如何才能求得所有结果？其实只要小小地修改一下上面的程序就可以了。
以上面修改过后一维数组维护棋盘状态为例。程序在碰到一次row == blen的情况之后就返回了True，然后递归一层层地返回True直到最上层。所以找到一个解决方案之后，程序就会退出了。
反过来，如果获得一个解决方案之后，不判断EightQueen函数的返回，此时函数会继续执行col += 1,将状态搜寻继续下去，如此收集状态的任务在row == blen的判断中，（注意这里的return可不能删，这里需要一个return来提示递归的终结条件），而对于每条递归路径总是穷尽所有可能再回头，这样就可以获得到所有可能了：
def EightQueen(board,row): blen = len(board) if row == blen: # 来到不存在的第九行了 print board return True col = 0 while col < blen: if check(board,row,col): board[row] = col if EightQueen(board,row+1): # return True 去掉这里即可，或者直接删除掉整个判断，只留下单一个EightQueen(board,row+1) pass col += 1 return False
示例结果：
[0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3] [0, 5, 7, 2, 6, 3, 1, 4] [0, 6, 3, 5, 7, 1, 4, 2] [0, 6, 4, 7, 1, 3, 5, 2] [1, 3, 5, 7, 2, 0, 6, 4] [1, 4, 6, 0, 2, 7, 5, 3] [1, 4, 6, 3, 0, 7, 5, 2] [1, 5, 0, 6, 3, 7, 2, 4] [1, 5, 7, 2, 0, 3, 6, 4] …… 总共有92种布局方案
■ 非递归
待补充…