【CH 3101】阶乘分解

题目描述

给定整数 $N(1≤N≤10^6)$，试把阶乘 $N!$ 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 $p_i$ 和 $c_i$ 即可。

算法分析

一个一个分解显然不可行，我们考虑对于每个质数，计算它在 $1\times2\times...\times N$ 中每个数分解质因数后对应的指数和。

先想，至少包含一个质因子 $prime$ 的个数是多少，显然是 $\lfloor\frac{n}{prime}\rfloor$。

那么，至少包含两个质因子 $prime$ 的个数是多少，显然是 $\lfloor\frac{n}{prime^2}\rfloor$。

以此类推。

由于包含 $x$ 个质因子的数中的前 $x-1$ 个质因子已经在之前的情况中统计过，只需要累加当前结果就可以了。

对于每个质数 $p$，最多循环 $log_pN$ 次，因此时间复杂度为 $O(nlog_2n)$。

注意避免中间结果溢出。

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
int notprime[1000005],prime[1000005],idx=0;
inline void getPrime(int n) {
    idx=0;memset(notprime,0,sizeof(notprime));
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(!notprime[i]) prime[idx++]=i;
        for(int j=0;j<idx&&i*prime[j]<=n;++j) {
            notprime[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main() {
    int n;scanf("%d",&n);
    getPrime(n);
    for(int i=0;i<idx;++i) {
        int ans=0;
        for(long long int j=prime[i];j<=n;j=j*prime[i]) ans+=n/j;
        printf("%d %d\n",prime[i],ans);
    }
    return 0;
}