1. 基本需求
考虑在磁盘文件上存储一张数据表，每张表有很多记录，暂时假定每个记录所存储的空间长度是相同的，每个记录有一个唯一的索引。操作系统对文件的读写是以页为单位的，每页长度为4096字节，现在需要对这张表中的记录进行插入、查找、删除操作。
不考虑时间和内存的性能，最简单的思路就是遍历每一页，在页中遍历每一个记录，查找给定的记录，如果记录不在这一页中再查找下一页，删除时只要找到对应的记录将其清空即可，而插入操作更简单，遍历每一页找到空闲的记录地址，将数据写入到该地址即可。
应该说在数据量不大的时候，上述做法还是挺好的，思路清晰自然，实现起来也很简单，在性能上也并不会受到什么大的影响。
但是在数据量比较大的时候，相对来说顺序查找的速度会慢一些，一两次查找也不会感受到慢太多，但如果是成千上万次频繁查找，积累下来的时间就非常可观了，人会明显感觉到慢很多，这时我们就要考虑做一些优化了。
我们知道顺序查找的平均时间是O(N),二叉树查找的平均时间是O(log2N)，那么能不能采用二叉树查找来缩短查找的时间呢？答案是否定的，因为二叉树只有2个子结点，每读取一个记录时都需要一次磁盘I/O 操作，树的深度较深，需要更多的磁盘I/O操作，但是磁盘的读写时间比内存要多的多，对于查找时间的最主要制约因素是磁盘文件的读写次数，所以即使总的搜索次数较少，如果磁盘I/O操作太频繁也是不行的。
这时我们发现B-tree结构正好能弥补二叉树的缺陷，B-tree是一种多叉树，一个父结点有很多个子结点，同一个父结点下的子结点组成一个磁盘块，每读取一页时就能一次性读取到多个记录，假设子结点的个数是m，则树的深度是O(logmN)，这大大减少了对磁盘文件的读写。
2. 测试分析
为了能感受B-tree带来的好处，有必要对顺序查找做一个简单的测试来直观感受一下。先随机插入10条记录，每条记录占16字节，再做100次随机查找，然后随机删掉2条记录，重复上述操作，记录所需要的时间。
插入时隐含着一次查询，因为需要先查询来判读这条记录是否已经在表中了，如果在表中则表示记录存在冲突，不执行此次插入。删除时也隐含着一次查找，为了确定要删除记录在文件中的位置。
如下图所示，遍历整张表后发现key值不在表内，同时确定了第3个slot为空闲slot，然后把key插入到该位置。
测试平台为msys2和linux虚拟机：
顺序查找表测试时间
重复次数 |
msys2下时间 |
linux下时间 |
1000 |
13s |
6s |
2000 |
54s |
20s |
4000 |
213s |
59s |
10000 |
略 |
409 |
很显然根据上面的测试，顺序查询的效率非常低，而且文件数据量的增大，花费的时间基本呈指数增长。我们先看看不用btree算法有没有什么优化的方法。
在优化前要把握住2个最关键的因素，其中一个是减少硬盘的读写次数，因为内存的读写速度要远远快于磁盘的读写速度，另外在磁盘中读写数据，磁头的移动非常耗时间，所以顺序读写的时间远远快于随机读写，甚至在固态硬盘中顺序读写比内存的随机读写都要快很多。
根据以上2个问题，并针对上面的测试场景，我们来对插入、查找、删除分别做优化，现在先不考虑B-tree算法：
- 插入
每一次插入都要查询导致了磁盘的写数据不连续，所以可以先把要插入的10条记录保存到内存，进行统一查找确定没有冲突的记录，然后一次性写入到文件末尾，等到空闲的slot超过1000条时，再统一把后面的记录移到前面。在实际应用中，我们不知道什么时候会开始下一次插入操作，所以要做一个批量插入的接口。
- 查找
为了加快查找的速度，通常都是把数据按照一定的结构排序，但是我们上面的优化是按顺序写入数据，所以这种方法不行。那么有没有方法能使我们在查找之前就知道这个记录在不在表中呢？答案是有的，就是用bitmap算法把关键字映射到一个bit里，但是如果关键字太大的话用普通的bitmap算法将会非常耗内存，我在之前的文章里介绍过SQLite的bitmap算法可以解决这个问题，即需要多少记录使用多少内存。
现在先假定最大记录数量为100万，此时最多需要消耗125K内存。我们把磁盘文件按块划分每10页即2560个记录组成一块，用bitmap先确定记录在哪一块，然后到对应的那一块里搜索，块的划分可以根据数据量和内存自行调整。
使用bitmap在提高搜索速度的同时更多是为了节省内存的考虑，如果不考虑内存，甚至可以建立一个超大数组，把关键字和记录在文件中的偏移位置做一个映射。
如下图所示，先遍历每一块，确定要查找的记录在第2块里，然后再遍历这一块的所有页中的所有slot
- 删除
删除操作没有什么好优化的，这就是一个建立在查找上的附加操作。
- 移动
每次插入时都是插入到文件的末尾，中间可能会有很多slot被删除，所以为了避免文件变得很大，当空闲slot到达1000时个时，就把后面的记录移到前面。
下表是经过优化后的测试数据
优化后的顺序查找表测试时间
重复次数 |
msys2下时间 |
linux下时间 |
1000 |
2s |
1s |
2000 |
4s |
4s |
4000 |
8s |
8s |
10000 |
22s |
18s |
算法的思路基本差不多，但是经过优化后发现速度提高了数10倍，所以写代码不能太随意，否则写出来的代码性能会非常差。
3. B-tree算法
上面已经对插入和查找做了一些优化，在查找虽然增加了bitmap分块定位来缩小查找范围，但是在每一块里基本还是顺序查找，而B-tree并不是顺序查找，而是一种特殊的二叉树查找，能够有效减少读取磁盘的次数，这是非常重要的，所以尽管B-tree写数据时是随机写入到磁盘，相比顺序写入性能会下降，但是大量应用都需要很多读操作，而写操作相对较少，所以写入性能变差也不那么关键了。
下面来简要介绍一下B-tree算法，B-tree其实就是一颗多叉树，即一个父结点会下挂很多个子结点，每个结点由关键字和子结点的指针组成，关键字里存储了所需的记录数据，每个结点里的关键字都是从小到大的顺序排列，而且如果我们把子结点中的关键字全部展开，这时候父结点和子结点的所有关键字也都是按顺序排列的，下图就是一个典型的B-tree
每一个磁盘块相当于一个B-tree的结点，蓝色区域是结点的关键字，黄色是子结点的指针，磁盘块里可能会有很多个关键字记录和子结点指针，我们先来看磁盘块2，关键字是8、12，子结点有P1，P2，P3，现在用子结点的关键字替代子结点的指针，得到全部关键字为3、5、8、9、10、12、13、15也是按照顺序排列的。
如果只是随便插入的话，经过多次插入和删除后这棵树就会退化成一张线性表，那么B-tree查找的优势也就不存在了，所以每一次插入都要使B-tree保持平衡，为了保持平衡B-tree会有以下一些特性，以一颗m阶B-tree(m叉树)为例:
- 树中每个结点至多有m个子结点
- 除根结点和叶子结点外，其他每个结点至少有[m/2]个子结点
- 若根结点不是叶子结点，则至少有2个子结点
- 所有叶子结点都出现在同一层
- 假设在某个非叶子结点里，子结点的个数为n，那么关键字的个数为n-1
- 所有结点的关键字个数范围为[m/2]-1~m-1
B-tree的查找比较简单，从根结点开始，按照关键字的大小定位目标结点在哪一个子结点里，层层往下搜索直到到达叶子结点，最后必定能找到目标。
插入和删除操作就有些繁琐，因为这会变更B-tree的结构，每次操作都要维持B-tree满足上面的特性。
下面来介绍B-tree的实现，这里以磁盘的每一页为一个结点，一页仍然是4096个字节，一页里有16字节的头部，接下来每一个记录为20个字节，其中16个字节为关键字和数据，另外4字节为子结点地址，一页里总共有(4096-16)/20=204个记录，即子结点个数最多为204个，关键字个数最多为203个，因为关键字个数要比子结点个数少1，所以最后一个记录只要子结点地址而没有关键字。
每个结点的定义如下：
struct Node
{
NodeHdr nodeHdr;//16字节头部
BtreeRecord aRecord[MAX_SUB_NUM];//204个记录
};头部包含了结点的属性，如是否是根结点或叶子结点，定义如下
typedef struct NodeHdr
{
u32 nPage;//页面数量，只用在第一次读取文件时从根结点获取
u32 reserve;
u8 aMagic[4];//校验值
u16 nRecord;//关键字个数
u8 isLeaf;//是否为叶子结点
u8 isRoot;//是否为根结点
}NodeHdr;每个记录的结构体定义如下
typedef struct BtreeRecord
{
int key;//关键字
u8 aMagic[4];
u8 aData[8];
u32 iSub;//关键字左边的子结点地址
}BtreeRecord;插入的时候数据的时候找到要插入关键字所在的叶子结点插入，在查找过程中如果有发现要查找的非叶子结点关键字数量已经到达m-1，则对其进行分裂，而叶子结点在超过m-1时才分裂，这样接保证了在分裂后父节点的关键字数量不会超过m-1，下面假设m的值为6，插入过程如下图，插入B时的时候关键字个数还没有超过最大值，直接插入，插入Q的时候关键字个数超过最大值，则进行分裂，把中间关键字T提到父结点：
接下来要插入L时，内部结点(GMPTX)的关键字数量达到最大值，则先进行分裂，否则子树会在分裂后上提一个关键字到父结点，造成关键字数量超过限制。
删除的操作就更加复杂了，情况分为很多种，基本思路就是先把结点删除了，如果关键字数量小于最小值2，再进行调整，整个删除过程如下图所示
(1)如图b，删除的记录在叶子结点，且不用调整，实现函数为
BtreeDeleteLeaf()
(2)如图c，删除的记录M在内部结点，向下从叶子结点中找到与M相邻的记录，如果关键字的数量有多余则将其上移到被删除的M位置，此处L上移到M,注意如果L不是叶子结点，L就不与M相邻，要继续向下搜索，实现函数为
BtreeDeleteInside()
(3)如图c、d所示，要删除内部G，此时与M相邻的叶子结点已经没有多余的记录了，但是此时仍然把记录E或J上移到G的位置，这里假定是E，这时E所在结点已经小于最小关键字数量了，而且邻居结点的关键字数量也都到了最小值，那么找一个邻居结点合并，这里是J和K,实现函数为
BtreeDeleteInside()
BtreeAdjust()
mergeBtree()
(4)如图d所示，P的左右子结点的最大关键字数量都已经为最小值则将其合并，如图e所示。为了让工程实现更简单，这里只有等到(C、L)和(T、X)结点中被删关键字后从叶子结点补上来了一个关键字，但是又由于叶子结点向上层层合并触发了结点的记录数减小才合并。所以实际上，我写的代码在记录D被删除后并不触发合并，图e是《算法导论》的方案，仅作参考。
(5)在图e和图f中，B被删除，但是邻居结点(E、J、K)的记录数有多余，则把父结点C移到被删除的B位置，把E移到父结点，实现函数为
getNeighborKey()
(6) 在实现时无论是删除内部结点还是叶子结点，最后都会产生一个由根结点到叶子结点的搜素记录
pBt->aFind[pBt->iFind++]= pBt->iPage;
最后接可以由pBt->aFind和pBt->iFind从叶子结点开始回退到根结点，回退过程中遇到关键字数量小于最小值则或是情况(5)从邻居结点拿关键字或是情况(3)与邻居结点合并。
通过上面的分析就完成了Btree的查找和删除过程，接下来按照上一节讲到的测试方法来测试，测试结果如下，并与顺序表的处理时间做对比：
Btree数据处理测试时间
重复次数 |
msys2下时间 |
linux下时间 |
1000 |
0s |
0s |
2000 |
1s |
1s |
4000 |
3s |
2s |
10000 |
8s |
6s |
顺序表处理测试时间
重复次数 |
msys2下时间 |
linux下时间 |
||
优化后 |
未优化 |
优化后 |
未优化 |
|
1000 |
2s |
13s |
1s |
6s |
2000 |
4s |
54s |
4s |
20s |
4000 |
8s |
213s |
8s |
59s |
10000 |
22s |
略 |
18s |
409 |
最后结果可以看到Btree算法比优化后的顺序查找的性能都要提高了好几倍，这里最关键的因素就是Btree减少了大量磁盘的读取次数，因为磁盘读取是一个非常耗时间的操作。
4. 测试代码
测试代码的 github地址如下：
https://github.com/pfysw/btree
btree_test()测试Btree的插入、删除和查找操作；SequenceTest()测试顺序表的插入、删除和查找操作，其中SeqTest1()是未经优化的，SeqTest2()是优化后的。
代码是自己写的，应该还有许多不足，后续会借鉴其他开源代码中B-tree、B+-tree、LSM tree的处理来进一步优化