Algorand-proof

Algorand 由图灵奖获得者 Micali 提出的，其共识机制被称为 BA* ，是PBFT 算法的改进。BA* 算法分为三阶段：区块生成、GC 和 BBA*。算法的停止时间是不确定的，但大概率保证在有限步内结束。

协议里有两种角色：Leader 和 Verifier

Leader：在区块生成阶段创建区块；
Verifier：在之后的每一个阶段里，对区块进行共识。

下面对 BA* 协议的细节做一个具体介绍。

符号

$(r,s)$ ：第 r 轮第 s步
$\ell^r$ ：第 r 轮的 leader
$SV^{r,s}$ ： $(r,s)$ 的 verifier 集合。如果 s=1，则为 potential leader 集合
$HSV^{r,s}$ 和 $MSV^{r,s}$ ： $(r, s)$ 的诚实 Verifier 和恶意 Verifier 集合
$B_i^r$ ：第 r 轮里节点 i 生成的区块
$B_\epsilon$ ：空区块。生成空区块的那一轮是不存在leader的。
$sk_i^{r,s}$ ：节点 i 在 $(r,s)$ 签名消息所用的临时密钥。每个 $(r,s)$ 都有对应的临时密钥。
$\sigma_i^{r,s}$ ： i 的签名 $SIG_i(r,s,Q^{r-1})$ ，用于证明 $i\in SV^{r,s}$
：节点 i 在广播的消息。根据不同，消息格式也不一样
- $s=1$ ： $m_i^{r,1}=(B_i^r, esig_i(H(B_i^r)),\sigma_i^{r,1})$
- $s=2,3$ ： $m_i^{r,s}=(ESIG_i(v_i),\sigma_i^{r,s})$
- $s\geq 4$ ： $m_i^{r,s}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),\sigma_i^{r,s})$
$PK^r$ ：在第 r 轮时已加入系统的所有节点的公钥集合

基本概念

种子

$Q^r$ 是第 r 轮的种子，用于选举 Leader 和 Verifier。 $Q^r$ 的计算方式如下：

如果 $B^{r-1}$ 是合法区块，则 $Q^r=H(SIG_{\ell^r}(Q^{r-1}),r)$
如果 $B^{r-1}=B_\epsilon$ ，即空区块，则 $Q^r=H(Q^{r-1}, r)$

Leader 选举

对于 $\forall i\in PK^{r-k}$ ，计算 $.H(SIG_i(r,1,Q^{r-1}))\leq p$ 如果满足，则 i 为 potential leader。

其中 $H(\sigma_i^{r,1})$ 最小的节点为真正的 leader。

Verifier 选举

Verifier 选举的方式和 Leader 选举的方式一样：对于 $\forall i\in PK^{r-k}$ ，计算 $.H(SIG_i(r,s,Q^{r-1}))\leq p'$ 如果满足，则 i 为 Verifier

区块结构

区块结构不是协议重点，但还是提一下。

如果 $B^r$ 是合法区块，则 $B^r=(r,PAY^r,SIG_{\ell^r}(Q^{r-1}),H(B^{r-1}))$
如果 $B^r=B_\epsilon$ ，即空区块，则 $B^r=(r,\emptyset,Q^{r-1},H(B^{r-1}))$

BA*共识

BA*由三个部分组成

生成区块（s=1，即第一步）：所有节点检查自己是不是potential leader，如果是，则生成区块并广播
GC协议（2≤s≤3）：有点像PBFT的后两个阶段，verifier 会生成1个二进制值
BBA（s≥4）：BBA共识的修改版。每次 BBA都由3步组成，会不断地循环。什么时候结束是不确定的，依概率结束。

BA*将 leader 所生成的区块映射成二进制值，分别表示区块合法与否。

合法：共识结束后生成一个正常区块
不合法：共识结束后生成空区块（ $B_\epsilon$ ）

约定

假设

每一步中，都有 $|HSV^{r,s}|>2{MSV^{r,s}}|$ ，即诚实Verifier比例大于Verifier集合的2/3。（P31.Parameters第1点）
对于 $j\in HSV^{r,s'}$ 发的消息，最多经过 $\lambda$ 时间能被诚实节点收到。（P45第6行）

执行前提

$s=1$ ：节点 i 根据「Leader选举规则」检查自己是不是 potential leader。如果不是，结束该 step，否则执行相应规则。

$s\geq 2$ ：节点 i 根据「Verifier选举规则」检查自己是不是 vefier。如果不是，结束该 step，否则执行相应规则。

下文协议细节描述里，默认有这些检查。

签名

$esig_i$ 和 $ESG_i$ 都表示用当前 $(r,s)$ 的临时密钥来签名消息。

Step 的开始和结束

开始时间：一个节点在达成共识 $B^{r-1}$ 后，会同时进入每个Step（论文 P44.Lemma 5.5(a)）。但并不是所有节点同时开始。

设第一个诚实节点达成共识 $B^{r-1}$ 的时间是 $T^r$ ，则在 $[T^r, T^r+\lambda]$ 时间内，所有的诚实节点都会达成共识 $B^{r-1}$ 。
为什么是 $[T^r, T^r+\lambda]$ ，见分析的 2.1.a 和 2.1.b（论文 p50-52）

结束时间：Step 结束的条件有两种

达成 Ending Condition 条件
耗尽等待时间：第s步的等待时间为，表示的广播时间上限，表示的广播时间上限。【但为什么是?】
- $s=1$ 时没有等待时间，因为不需要接收消息。
- 论文中默认等待 $t_s$ 后，能收到所有诚实节点在小于 $s$ 的step里发送的消息。

Step 1 生成区块

这一步生成区块并广播

生成区块 $B_i^r$
生成 $m_i^{r,1}=(B_i^r, esig_i(H(B_i^r)),\sigma_i^{r,1})$ 。其中 $esig_i(H(B_i^r))$ 表示用 $sk_i^{r,1}$ 进行签名的，签名完后销毁 $sk_i^{r,1}$ 。
广播 $m_i^{r,1}$ 和 $B_i^r$

备注

其他节点通过 $\sigma_i^{r,s}$ 验证是否有 $i\in SV^{r,1}$ ，以检查 i 是否有资格进行该步。
敌手收到所有的 $m_i^{r,1}$ 后，就能知道谁是leader，并立即控制它广播新的 $m_i^{r,1}$ ，阻止它原来的 $m_i^{r,1}$ 广播出去。这样敌手就可以控制每一轮的 leader。广播 $m_i^{r,1}$ 后销毁 $sk_i^{r,1}$ 就是为了避免这种情况发生，因为即使敌手控制了leader，也无法让他发送新的 $m_i^{r,1}$ 。

GC

Step 2：GC第一步

从收到的多个 $m_j^{r,1}$ 里找到 $\ell^r$ ，即 $H(\sigma_j^{r,1})$ 最小的节点。
检查 $\ell^{r}$ 发来的区块 $B_{\ell^r}^{r}$ 的合法性：若合法，令 $v_i'=H(B_{\ell^r}^{r})$ ；若不合法，令 $v_i'=\perp$ 。
广播 $m_i^{r,2}=(ESIG_i(v_i'),\sigma_i^{r,2})$

备注

$v_i'$ 是 $GC$ 协议要共识的值，在 $BBA$ 协议中不会用到。
整个协议里只有这一步检查 Leader 和区块的合法性

Step 3：GC第二步

在收到的 $m_j^{r,2}$ 中，如果有超过 2/3 的 $(ESIG_j(v'),\sigma_j^{r,2})$ （他们的 $v_j'$ 全部相同），则令 $m_i^{r,3}=(ESIG_i(v'),\sigma_i^{r,3})$ ；否则，则令 $m_i^{r,i}=(ESIG_i(\perp),\sigma_i^{r,3})$
广播 $m_i^{r,3}$

Step 4：GC输出

收到的中，有 3 种可能出现的情况
1. 如果有超过 $2/3$ 的 $(ESIG_j(v'),\sigma_j^{r,3})$ ，则令 $v_i=v', b_i=0$
2. 如果有超过 $1/3$ 的 $(ESIG_j(v'),\sigma_j^{r,3})$ ，且 $v'\neq\perp$ ，则令 $v_i=v', b_i=1$ 。这里可以保证只有唯一的超过1/3的值。
3. 否则令 $v_i=\perp, b_i=1$
广播 $m_i^{r,4}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),\sigma_i^{r,4})$

备注： $b_i=0$ 表示区块合法， $b_i=1$ 表示区块不合法

【思考】：在诚实节点中，似乎不会出现部分 $b_i=1$ ，部分 $b_i=0$ 的场景，而是会全部共识到合法区块 $B_r$ 或空区块 $B_\epsilon$ 。恶意的 $\ell^r$ 和Verifier不能对下一步的诚实节点进行单播，因为他们不知道下一步的诚实节点是谁。

BBA*

在BBA*中，会不断对收到的历史 $m_j^{r,s'-1}$ 进行检查，查看是否触发Ending Condition

以下两个结束条件是互斥的

【Ending Condition 0】

条件：收到超过 $2n/3$ 的 $m_j^{r,s'-1}=(ESIG_j(0),ESIG_j(v),\sigma_j^{r,s'-1})$ ，且有 $s'-2\equiv 0\ \text{mod}\ 3$ ；同时 $v$ 在 $m_j^{r,1}$ 中对应的区块是合法的（注意 $v$ 是区块的哈希）
满足条件则达成共识 $B^r=B_j^r$ ，将相应的 $m_j^{r,s'-1}$ 集合作为 $CERT^r$ ，停止该轮。

【Ending Condition 1】

条件：收到超过 $2n/3$ 的 $m_j^{r,s'-1}=(ESIG_j(1),ESIG_j(v),\sigma_j^{r,s'-1})$ ，且有 $s'-2\equiv 1\ \text{mod}\ 3$
满足条件则达成共识 $B^r=B_{\epsilon}^r$ ，将相应的 $m_j^{r,s'-1}$ 集合作为 $CERT^r$ ，停止该轮。

Step 5：Coin-Fixed-To-0

当 $5\leq s \leq m+2, s-2\equiv 0\ \text{mod}\ 3$ 时进行这一步时，如果触发Ending Condition 0 或 1，则停止。否则等待 $t_s$ 后

在收到的 $m_j^{r,s-1}$ 中，有超过2/3比例的 $m_j^{r,s-1}=(ESIG_j(1),ESIG_j(v_j),\sigma_j^{r,s-1})$ ，则令 $b_i=1$ ，否则另 $b_i=0$
广播 $m_i^{r,s}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),\sigma_i^{r,s})$
【为什么要令 $b_i=1$ 和0】

Step 6：Coin-Fixed-To-1

和 Coin-Fixed-To-0 类似，当 $6\leq s \leq m+2, s-2\equiv 1\ \text{mod}\ 3$ 时进行这一步时，如果触发 Ending Condition 0 或 1，则停止。否则等待 $t_s$ 后

在收到的 $m_j^{r,s-1}$ 中，有超过2/3的 $m_j^{r,s-1}=(ESIG_j(0),ESIG_j(v_j),\sigma_j^{r,s-1})$ ，则令 $b_i=0$ ，否则令 $b_i=1$
广播 $m_i^{r,s}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),\sigma_i^{r,s})$

Step 7：Coin-Genuinely-Flipped

当 $7\leq s \leq m+2, s-2\equiv 2\ \text{mod}\ 3$ 时进行这一步，如果触发 Ending Condition 0 或 1，则停止。否则等待 $t_s$ 后

可能出现三种互斥的情况：
- 在收到的 $m_j^{r,s-1}$ 中，有超过2/3的 $m_j^{r,s'-1}=(ESIG_j(1),ESIG_j(v_j),\sigma_j^{r,s'-1})$ ，则令 $b_i=1$
- 在收到的 $m_j^{r,s-1}$ 中，有超过2/3的 $m_j^{r,s'-1}=(ESIG_j(0),ESIG_j(v_j),\sigma_j^{r,s'-1})$ ，则令 $b_i=0$
- 否则令 $b_i=\text{lsb}(\min_{j\in SV_i^{r,s-1}}H(\epsilon_j^{r,s-1})$
广播 $m_i^{r,s}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),\sigma_i^{r,s})$

Step m+3：最后一步

这一步比较特殊，不用检查自己是不是Verifier，所有节点都要参与。

如果触发Ending Condition 0 或 1，则停止。否则等待 $t_s$ 后

令 $out_i=1$ 和 $B^r=B_\epsilon^r$
广播 $m_i^{r,m+3}=(ESIG_i(out_i),ESIG_i(H(B^r)), \sigma_i^{r,m+3})$

达成共识 $B^r=B_{\epsilon}^r$ ，收集 $m_j^{r,m+3}$ 集合作为 $CERT^r$ 。

总结

【达成共识的情况】：有三种，分别是 Ending Condition 0、Ending Condition 1 和 Step m+3。

【Ending Condition】

若因为收到超过 2n/3 的 $m_j^{r,s'-1}$ 而触发 Ending Condition，则在 $s< s'$ 的 step 里，肯定是因为耗尽等待时间 $t_s$ 而结束step。
触发 Ending Condition 0，则 $s'$ 一定是 Coin-Fixed-To-0；如果触发 Ending Condition 1，则 $s'$ 一定是 Coin-Fixed-To-1。
Ending Condition 要求收到的 $m_j$ 个数要超过确定值 $2n/3$ ，而其他的都只要求收到的 $m_j$ 中有2/3满足条件即可。