渐进时间复杂度

时间复杂度

1.概念

     渐进时间复杂度(时间复杂度)是算法效率的度量。在一般情况下，算法基本操作重复执行的次数用T(n)表示。同时用一个辅助函数f(n)，T(n)/f(n)!=0，那么f(n)是T(n)的同数量级函数，T(n)=O(f(n))，这就称为渐进时间复杂度。

2.大(O)表示法

     T(n)=O(f(n))称为大(O)表示法。算法的复杂度可以从最优、最坏、平均三个角度来评估，一般以最坏角度来进行时间复杂度的评估。大(O)表示法的时间复杂度的函数阶一般有以下几种情况，分别是O(1)，O(n)，O(n^x)，O(log₂n)，O(nlog₂n)等等。并且如果函数阶里同时出现多种函数组合，则以阶数最大的函数作为时间复杂度。并且如果函数系数非1，则化为1。

3.时间复杂度实例

3.1 常数阶 

int sum=0,n=10;//执行1次
sum+=n*(n+1);//执行1次
sum++;//执行1次
cout<<sum;//执行1次

       此段代码执行4次，执行次数与n并无关系，所以根据大(O)表示法推导，我们应该将4改为1，即结果都应该为O(1)。

3.2 线性阶

int sum=0;
for(int i=0;i<n;i++){
    sum++;
    cout<<sum;
}

        此段代码是单层循环，运行了n次，所以时间负责度是O(n)。

3.3 对数阶

int num=1;
while(num<n){
     num*=2;
}

        num初始值为1，不断自乘2逼近n，设循环次数为x，由数学公式2x=n，x=log_2n次。

3.4 平方阶

int n=10;
for(int i=0;i<n;i++)
   for(int j=10;j>i;j--){
   }
}

       由上述线性阶的时间复杂度说明容易得知在外层循环中，时间复杂度为O(n)，再经过内层循环，两个O(n*n)的结果为O(n²)，幂次阶同理。

3.4 阶乘阶

int fac(int n){
    cout<<n*fac(n-1);
}

        以上代码是一个阶乘函数，顾名思义，为O(n!)。

4.复杂度图表比较

n	l  ogn	nlogn	n²	2ⁿ	n!
5	2	10	25	32	120
10	3	30	100	1024
50	5	250	2500	约10^15	约3.0*10^64
100	6	600	10000	约10^30	约9.3*10^157
1000	9	9000	1000 000	约1	约4.0*10^2567

常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)

参考来源：

1.数据结构

2.大话数据结构

约3.0*10^64