在很多数据结构的面试题中看似简单,但是对题目的要求却挺高,主要就体现在复杂度分析方面。复杂度又分为时间复杂度和空间复杂度。
1.时间复杂度
时间复杂度实际就是函数,函数计算执行的基本操作次数 .
在进行时间复杂度分析时需注意:
1)时间复杂度强调的是函数执行的操作次数,这里的函数是指数学里面的函数,而不是C语法里的函数;
2)在实际中我们通常情况考量的是算法的最坏情况;
3)忽略掉常数;
4)关注运行时间的增长趋势,关注函数式中增长最快的表达式,忽略系数;
空间复杂度,它是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。所以它强调的是使用的辅助空间的的大小,而不是指所有的数据所占用的空间。
要注意的是递归算法的空间复杂度,假如递归深度为N*每次递归的辅助空间大小,如果每次递归的辅助空间为常数,则空间复杂度为O(N)。
下面通过斐波那契数列对时间,空间复杂度进行分析一下:
1.
- long long* fib(long long n)
- {
- assert(n>=0);
- long long* ptr=new long long[n+1];
- ptr[0]=0;
- ptr[1]=1;
- for(int i=2;i<=n;++i)
- {
- ptr[i]=ptr[i-1]+ptr[i-2];
- }
- return ptr;
- }
2.
- long long fib(long long n)
- {
- assert(n>=0);
- long long first=0;
- long long second=1;
- long long ret=0;
- for(int i=2;i<=n;i++)
- {
- ret=first+second;
- first=second;
- second=ret;
- }
- return ret;
- }
这是非递归的另一种算法,函数真正执行次数依然为n-1,所以忽略常数后,时间复杂度还是O(n);
由于采用变量交换的方式,所以在这里辅助空间个数为一个常数,空间复杂度为O(1).
3.再看一下递归算法
- #include<assert.h>
- #include<iostream>
- using namespace std;
- long long fib(long long n)
- {
- assert(n>=0);
- return (n<2)?(n):(fib(n-1)+fib(n-2));
- }
- int main()
- {
- long long value=fib(15);
- cout<< value <<endl;
- system("pause");
- return 0;
- }
最早斐波那契研究该数列时,为了描述清楚就以兔子生长情况为例:
.第一个月有一对刚诞生的兔子;
.第二个月后可生育;
.每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子;
.假设兔子永不死去。
由上图可以得出斐波那契递归算法时间复杂度:O(2^N),空间复杂度为:O(N)
下面再看一个有关二分查找的的例子:
1.递归情况
- int BinarySearch2(const int* ptr,const int x,const int left,const int right)
- {
- int mid=(left+right)/2;
- while(left<=right)
- {
- if(x<ptr[mid])
- {
- return BinarySearch2(ptr,x,left,mid-1);
- }
- else if(x>ptr[mid])
- {
- return BinarySearch2(ptr,x,mid+1,right);
- }
- return mid;
- }
- }
1)假设以最坏情况考虑,二分查找第一次在n/2中查找(n为元素个数);第二次在一半的一半中查找,即n/2/2=n/4;……第x次在n/2^x范围内查找,即2^x=n(x=log2^n),所以时间复杂度为O(log2^n).
2)递归情况下的空间复杂度:递归深度为N*每次递归的辅助空间大小,如果每次递归的辅助空间为常数,则空间复杂度为O(N)。2.非递归情况
- int BinarySearch1(const int* ptr,const int x,const int len)
- {
- int left=0;
- int right=len-1;
- int mid=(left+right)/2;
- while(left<=right)
- {
- if(x<ptr[mid])
- {
- right=mid-1;
- }
- else if(x>ptr[mid])
- {
- left=mid+1;
- }
- else
- {
- return mid;
- }
- }
- return -1;
- }
对于非递归的二分查找与递归查找的时间复杂度一样的分析方法,所以时间复杂度为O(log2^n);
但是在这个过程中,辅助空间为常数级别,所以空间复杂度为O(1)