[树状数组]小奇遐想

题目描述

撷来一缕清风飘渺
方知今日书信未到
窗外三月天霁垂柳新长枝条
风中鸟啼犹带欢笑
——《清风醉梦》
小奇望着青天中的悠悠白云，开始了无限的遐想，在它的视野中，恰好有n朵高度不同的白云排成一排，他想从左到右选出四朵白云a，b，c，d，使得h_a<h_b<h_d<h_c，即看起来像是彩虹的形状！它想知道有多少种方案数。

 

输入

第一行包括1个整数n。
第二行包括n个整数，第i个正数表示h_i，保证这n个整数是n的一个全排列。

 

输出

输出一个整数表示答案。（mod 16777216）

样例输入

5
1 5 3 2 4

样例输出

0

提示

对于10%的数据n<=600；对于40%的数据n<=5000；
对于100%的数据n<=200000。

思路：求选4多云朵其高度满足“1243”的选择方案数。可以逆向考虑，求出“12_ _”的总方案数(其中_ _都大于1和2,但_ _内部相对大小任意)，再减去“1234”的方案数，结果就是“1243”的方案数。

"12_ _"的方案数求法：对每一个a[i]，将a[1~i-1]中比a[i]小的数的个数求出来(树状数组)，记录在l[i]里，则a[i+1~n]中比a[i]小的数的个数就为(a[i]-1)-l[i]，记录在r[i]里,则a[i+1~n]中比a[i]大的数的个数也可以求出来，即n-i-r[i]；则“12_ _”的方案数就是sum{l[i]*C(n-i-r[i],2)}(i=1~n);

"1234"的方案数求法：对每一个a[i]，将a[1~i-1]中比a[i]小的数的l数组求和(树状数组)，即sum{l[j]}(j<i&&a[j]<a[i])(记为tot[i])，则“1234”的方案数就是sum{tot[i]*(n-i-r[i])}(i=1~n);

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define lowbit(x) x&(-x)
#define mod 16777216
using namespace std;

int a[200010],c[200010];
int l[200010],r[200010];
int n;

void add(int x,int val){
  for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=val;
}

int getsum(int x){
  int ret=0;
  for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) ret+=c[i];
  return ret;
}

long long sum1(){
  long long ret=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    ret=(ret+l[i]*(n-i-r[i])*(n-i-r[i]-1)/2%mod)%mod;
  }
  return ret;
}

long long sum2(){
  long long ret=0;
  memset(c,0,sizeof(c));
  for(int i=1;i<=n;i++){
    ret=(ret+getsum(a[i])*(n-i-r[i])%mod)%mod;
    add(a[i],l[i]);
  }
  return ret;
}

int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d",&a[i]);
    l[i]=getsum(a[i]);
    r[i]=(a[i]-1)-l[i];
    add(a[i],1);
  }
  long long ans=(sum1()-sum2()+mod)%mod;
  printf("%lld\n",ans);
}

树状数组可以维护在i左边的比a[i]小的数的个数