B君的第九题

B君的第九题

对于一个排列\(a_1, a_2,\dots,a_n\)，如果对于一个i满足\(a_{i-1}<a_i>a_i+1\)则称i是一个极大值。我们认为\(a_0=a_{n+1}=0\)。考虑\(1,2,\dots,n\)的所有排列，问有多少个排列恰好有m个极大值。输出答案对p取模的结果。\(1\le n\le10^9, 1\le m\le10, 2\le p\le1001\)

对于统计排列数，其实没有必要按照给出的a的顺序来dp，可以先把a从小到大排序，然后用\(f[i][j]\)表示dp到第i个数，有j个山峰的方案数。由于当前数大于之前序列的所有数，考虑把它插入序列。如果它插在山峰旁边，那么山峰个数仍然不变，否则山峰个数会加一个。因此\(f[i][j]=f[i-1][j]*2j+f[i-1][j-1]*(i+1-2*(j-1))\)。

但是这个式子和i有关，没法用矩阵乘法优化dp。怎么办呢？由于所有运算都是在模p意义下的，所以说直接对于i=1到p先把矩阵暴力求出来，然后用矩阵快速幂即可！

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn=1e3+5, maxm=12;
int n, m, p;
inline void up(int &x, int y){ x+=y-p; x+=(x<0?p:0); }

struct Matrix{
    int a[maxm][maxm];
}g[maxn], re, c, ans;
Matrix& operator *(const Matrix &a, const Matrix &b){
    memset(re.a, 0, sizeof(re.a));
    for (int i=0; i<=m; ++i)
        for (int j=0; j<=m; ++j)
            for (int k=0; k<=m; ++k)
            up(re.a[i][j], a.a[i][k]*b.a[k][j]%p);
    return re;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
    for (int i=0; i<=m; ++i) c.a[i][i]=1, ans.a[i][i]=1;
    for (int i=1; i<=p; ++i){
        for (int j=0; j<m; ++j){
            //if (i-2*j<0) break;  //?
            g[i].a[j][j]=2*j%p,
            g[i].a[j][j+1]=((i-2*j)%p+p)%p;
        }
        g[i].a[m][m]=2*m%p;
        c=c*g[i];
    }
    int mi=n/p;
    for (; mi; c=c*c, mi>>=1) if (mi&1) ans=ans*c;
    for (int i=1; i<=n%p; ++i) ans=ans*g[i];
    printf("%d\n", ans.a[0][m]);
    return 0;
}