正态分布以及相关的抽样分布

by QZQ

基本

定义

1. 若连续型随机变量X的概率密度为 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma } e ^{- \frac{(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}},-\infty< x< \infty$$
   其中$\mu$,$\sigma$为常数，则称X服从参数为$\mu$,$\sigma$的正态分布或高斯分布，记为$X\sim N(\mu ,\sigma ^2)$.
2. 事实上，$\mu$是X的期望,$\sigma^2$是X的方差.

性质

1. 曲线关于$x=\mu$对称，这表明对于任意$h>0$有 $$P\{\mu - h < X \leq \mu \} = P\{\mu < X \leq \mu + h\}$$
2. 当$x=\mu$时取到最大值 $$f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$
3. 在$x=\mu\pm\sigma$处曲线有拐点。曲线以$Ox$轴为渐近线.

定性分析参数

1. 固定$\sigma$改变$\mu$，图形沿着$Ox$平移，不改变形状.正态分布的概率密度曲线的位置完全由参数$\mu$所确定，$\mu$称为位置参数.
2. 固定$\mu$改变$\sigma$，由于最大值$f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$，可知当$\sigma$越小时图形变得越尖，因而X落在$\mu$的概率越大．

标准正态分布

当$\mu = 0,\sigma = 1$时称随机变量X服从标准正态分布.其概率密度和分布函数分别用$\varphi(x),\Phi(x)$表示.

引理

若$X\sim N(\mu,\sigma ^2)$,则$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

分位点

设$X\sim N(0,1)$,若$z_\alpha$满足条件

$$P\{X>z_\alpha\}=\alpha, 0<\alpha <1,$$
则称点 $z_\alpha$为标准正态分布的上 $\alpha$分位点.

相关的样本分布

$\chi^2$分布

设$X_1,X_2,...,X_n$是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量

$$\chi^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$$
服从自由度为n的 $\chi^2$分布,记为 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$

性质

1. 可加性。 $$\chi_1^2+\chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2)$$
2. 期望、方差 $$E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n$$

上分位点

$$\chi_\alpha^2(n)\approx\frac{1}{2}(z_\alpha+\sqrt{2n-1})^2$$

$t$分布

设$X\sim N(0,1), Y\sim \chi^2(n)$,且$X,Y$相互独立，则称随机变量

$$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$
服从自由度为n的 $t$分布.记为 $t\sim t(n)$

上分位点

对称性:

$$t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$$
n>45时, $$t_\alpha(n)\approx z_\alpha$$

$F$分布

设$U\sim \chi^2(n_1),V\sim \chi^2(n_2)$,且$U,V$相互独立，则称随机变量

$$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}$$
服从自由度为 $(n_1,n_2)$的 $F$分布，记为 $F\sim F(n_1,n_2)$

上分位点

$$F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}$$

正态总体的样本均值与样本方差的分布

对于总体X（任意分布，只要求存在均值和方差）的均值为$\mu$,方差为$\sigma^2,X_1,X_2,...X_n$是来自X的一个样本，$\overline X, S^2$分别是样本均值和样本方差。
即

$$\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$
$$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2= \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\overline X^2)$$

有$E(\overline X)=\mu, D(\overline X)=\sigma^2/n,E(S^2)=\sigma^2.$

进而，设$X\sim N(\mu,\sigma^2),\overline X$服从正态分布.
有以下定理
定理1

$$\overline X \sim N(\mu,\sigma^2/n)$$
定理2
1. $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$$
2. $$\overline X与S^2相互独立$$

定理3

$$\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$
定理4
设 $X_1,X_2,...,X_n与Y_1,Y_2,...,Y_n$分别是来自正态总体 $N(\mu_1,\sigma_1^2)和N(\mu_2,\sigma_2^2)$的样本，且相互独立.
有
1. $$\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)$$
2. 当 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$
$$\frac{(\overline X - \overline Y) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)$$
其中 $$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},S_w=\sqrt{S_w^2}$$