样本及抽样分布

随机样本

在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一项数量指标（例如研究某种型号灯泡的寿命这一数量指标）。为此，考虑与这一数量指标相联系的随机试验，对这一数量指标进行试验或观察。
我们将试验的全部可能的观察值称为总体。
这些值都不一定不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能的观察值称为个体。
总体中包含的个体的个数称为总体的容量，
容量为有限的称为有限总体，
容量为无限的称为无限总体。

定义:
设$X$是具有分布函数$F$的随机变量，若$X_1,X_2,\cdots,X_n$是具有同一个分布函数$F$的，相互独立的随机变量，则称$X_1,X_2,\cdots,X_n$为分布函数$F$(或者总体$F$、或总体$X$)的到的容量为$n$的简单随机样本，简称样本，他们的观察值$x_1,x_2,\cdots,x_n$称为样本值，又称$X$为$n$个独立变量的观察值。

抽样分布

定义：
设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的一个样本，$g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$的函数，若$g$中不含未知参数，则称$g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$是一统计量
因为$X_1,X_2,\cdots,X_n$都是随机变量，而统计量$g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$是随机变量的函数，因此统计量是一个随机变量。设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是相应于样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$的样本值，则称$g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是$g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$的 观察值

---

样本平均值：

统计量
$$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$
观察值
$$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

---

样本方差：

统计量
$$S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2)$$
观察值
$$s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2=\dfrac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\overline{x}^2)$$

---

样本标准差：

统计量
$$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2)}$$
观察值
$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\overline{x}^2)}$$

---

样本$k$阶(原点)矩：

统计量
$$A_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k,k=1,2,\cdots;$$
观察值
$$a_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^k,k=1,2,\cdots;$$

---

样本$k$阶中心矩：

统计量
$$B_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^k,k=2,3,\cdots;$$
观察值
$$b_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^k,k=2,3,\cdots;$$

---