[组合数学]给定每种数字的个数计算不包含前导0的数的个数

这个问题源于昨日的 CF E题。让我想了好久.

问题定义

给定每种数字($0,1,2,3,\dots, 9$)的个数 $c_i: i有c_i个$,问用完其中每种数字，组合成一个数，其中不包含前导0的数有多少个。

比如:

$c = \{1,1,1,0,0,0,0,0,0,0\}$, 那他可以组合成:

120,102,210,201

解法1

如果包含前导0也算进去，那么就是一个简单的多重排列问题了， $ans = \frac{(\sum_{i=0}^{9}c[i])!}{c[i]!}$

同理我们可以先把不包含0的排列数算出来 :$ret = \frac{(\sum_{i=1}^{9}c[i])!}{\prod _{i=1}^{9}c[i]!}$, 对于其中每个排列，设 $n = \sum_{i=1}^9c[i]$仅需将 后面的 $n-1$ 个数和 0排列就好,$t = \frac{(c[0]+n-1)!}{c[0]!(n-1)!}$

所以最终解为:

$$ans =ret*t= \frac{(\sum_{i=1}^{9}c[i])!}{\prod _{i=1}^{9}c[i]!}* \frac {(c[0]+n-1)!}{c[0]!(n-1)!}$$

解法2

解法2有点麻烦，就是可以直接计算包含0的情况，然后枚举所有前导0的个数，减去就好。

代码

 LL cal_cnt(int *state){
    LL n=0;
    for(int i=1 ; i<10 ; ++i)n += state[i];
    LL ret = fact[n];
    for(int i=1 ; i<10 ; ++i)ret /=fact[state[i]];
    LL tmp =1;
    if(cnt[0]>0){
        tmp = fact[n+state[0]-1]/fact[state[0]]/fact[n-1];
    }
    return ret*tmp;
}