阶乘中末尾0的个数和及其扩展--记一道牛客小白月赛题

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求 $1!2!\dots n!$ 中末尾0的个数。

分析

首先需要解决的是 $n!$ 末尾0 的个数，我们记 :

$f(n):n!$ 中末尾0 的个数

那么原问题就变成了: $ans = \sum_{i=1}^nf(i)$, 记 $S(n) = \sum_{i=1}^nf(i)$

我们接下来求阶乘末尾0的个数，即 $f(n)$

求解 $f(n)$

由于2*5的乘积就会产生一个0，而且5的倍数比2的倍数少，所以只需统计5的倍数的个数，这就是0的个数，

$n!= 5*5*2*5*3\dots5*k*a_i$

其中$a_i$ 不整除 5。那么显然，$k=n/5$ 的下整，同时 $n!=5^{k}*1*2*3\dots*k*a_i$, 所以有

$$f(n) = k + f(k)$$

时间复杂度 $O(log N)$

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求解 $S(n)$

由于

$f(5k) = k+f(k)$
$f(5k+1)=k+f(k)$
$\dots$
$f(5k+4)=k+f(k)$

全部累加，可得

$S(5k+4)=\sum_{i=1}^k5(i+f(i))=5*\frac{(k+1)k}{2}+S(k)$

每次找到一个最大的k，使得 $5k+4\le n$, 剩余的项直接计算就好，因此总的时间复杂度

时间复杂度 $O(log^2N)$

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAXN 1000010

typedef unsigned long long uLL;
typedef long long LL;

uLL n;

uLL f(uLL k){
    if(k< 5)return 0;
    else return k/5 + f(k/5);
}
uLL S(uLL k){
    uLL ret =0;
    if(k < 5){
        for(uLL i=1 ; i<=k ; ++i)
            ret+= f(i);
        return ret;
    }else{
        uLL t = k/5;
        for(uLL i = 5*t; i <=k ; ++i) ret += f(i);
        ret+= 5*(t-1)*t/2;
        return ret+5*S(t-1);
    }
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin>>n;
    std::cout << S(n) << '\n';
    return 0;
}