一维数组解01背包问题（总结各种大神的分析）

经历过拼多多的笔试题，就知道该多学学动态规划算法了。。

问题描述：

有n和重量和价值分别为Wi,Vi的物品，从这些物品中挑选出总质量不超过C的物品，如何挑选使得总价值量最大？

思路分析：

序号	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	5	0	5	5	8	8	13	13	14	16	16
b	3	3	0	1	3	8	8	9	11	11	14	14
c	5	6	0	1	1	8	8	9	9	9	14	14
d	4	8	0	1	1	8	8	9	9	9	9	9
e	2	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1

这个表格是自底向上从左到右的顺序，e2单元格表示最多容重2时，只有e物品可选时，最大价值为1

c3表示最多容重为3时，只有c.d.e物品可选时，最大价值为1，因为d和e都大于3，装不了。

a8的值是14，怎么得到？

根据01背包的状态转换方程: f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i-1][j]表示b[8]的值为11，f[i-1]，j-wi]表示b6的值为9，9+5=14>11，因此a8的值为14。

分析原文地址：https://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810

当背包容量为j时，已经放入了i件物品，最大价值为d[i]d[j]

当第i件物品比背包容量还大时,不能放，所以，d[i][j]=d[[i-1][j];

当第i件物品比背包容量小时，就要判断两种情况：不放的话，和上式相同，放的话，背包容量-第i件物品的质量再去装前i-1件物品，所得得最大价值加上第i件物品的价值，两者较大值即为最优解。d[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define EMPTY
#define INF -65536
const int C=10;//容量capability
int n;//物品个数
int w[15],v[15];//物品个数，物品质量weight,物品价值value
int dp[1000][C+1]={0};
int main(){
    scanf("%d ",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);
    #ifdef EMPTY//要求价值最大化，可以不满
        for(int i=0;i<=n;i++)dp[i][0]=0;
        for(int i=0;i<=C;i++)dp[0][i]=0;
    #else//必须装满
        dp[0][0]=0;
        for(int i=1;i<=C;i++)dp[0][i]=INF;
        for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][0]=INF;
    #endif
     for(int i=1;i<=C;i++){
         for(int j=1;j<=n;j++){
             dp[i][j]=w[j]<=i?max(dp[i][j-1],dp[i-w[j]][j-1]+v[j]):dp[i][j-1];
         }
     }
     cout<<dp[C][n]<<endl;
    return 0;
}

从空间花费从大到小来构成for循环的话，就可以直接用一维数组来保存物品数-1 的值。

当背包容量为j时，已经放入了i件物品，最大价值为d[j]

当第i件物品比背包容量还大时，d[j]=d[j];

当第i件物品比背包容量小时，就要判断两种情况：不放的话，和上式相同，放的话，背包容量-第i件物品的质量再去装前i-1件物品，所得得最大价值加上第i件物品的价值，两者较大值即为最优解。d[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define EMPTY
#define INF -65536
const int C=10;//容量capability
int n;//物品个数
int w[15],v[15];//物品个数，物品质量weight,物品价值value
int dp[C+1];
int main(){
    scanf("%d ",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);
    #ifdef EMPTY//要求价值最大化，可以不满
        for(int i=0;i<=C;i++)dp[i]=0;
    #else//必须装满
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=C;i++)dp[i]=INF;
    #endif
     for(int i=1;i<=n;i++){
         for(int j=C;j>0;j--){
             dp[j]=w[i]<=j?max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]):dp[j];//注意这个+v[i]是在dp[]外面加的
         }
     }
     cout<<dp[C]<<endl;
    return 0;
}

代码博文地址：https://blog.csdn.net/stack_queue/article/details/52734100

一维数组解01背包问题（总结各种大神的分析）

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