bzoj2728/洛谷P3220 与非 （伪）线性基+（伪）数位dp

做题的时候可能脑子里有根神经烧断了，把“与非”看成了“异或”，心头一喜，直接线性基一套，惨烈爆0。
不过线性基的思路还是很好的，与非能不能弄一个类似线性基的东西出来呢？

线性基是什么？
线代大佬一定很清楚，不过我是一个古代蒟蒻，所以不是很清楚。
现在我们有一堆数，我们要对他们随意做一个位运算，最后一定能得到若干不同的结果，形成结果集S。可能二进制位中有这么两位i和j，i取值定下来了，j的取值一定会定下来，才能保证这个数在S集中。
我们用我们可以使用的那个位运算操作整出若干个数，这若干个数可以操作运算得到（或曰：张成）结果集S，那么古代蒟蒻也不知道这个定义是否科学，我们暂时把这若干个数称为（伪）线性基。

与非是什么？
与非这个操作很神奇，因为：
NOT x=x NAND x ，所以NOT可以用与非表示。
x AND y=NOT(x NAND y) ，AND也可以被与非表示，然后所有的位运算操作都可以被表示了，譬如：
x OR y=(NOT x) NAND (NOT y)和x XOR y=((NOT x)AND y)OR(x AND (NOT y))

显然，如果有两位i和j，在所有数中，第i位和第j位都一样，那么任何结果中，第i位和第j位都一样。
而其他的位就不受这样的约束条件了，因为我们可以这么构造（伪）线性基:对于第i位，我们枚举所有数$a_j$，假设$a_j$第i位为1，就AND上$a_j$，否则AND上$a_j$取反。这样的结果只有第i位和一定与第i位相同的位会是1，将这个结果记为$b_i$。代码表示如下：

for(RI i=K-1;i>=0;--i)
    if(!vis[i]) {
        b[++tot]=bin[K]-1;//bin[i]:2的i次方
        for(RI j=1;j<=n;++j)
            if(a[j]&bin[i]) b[tot]&=a[j];
            else b[tot]&=(a[j]^(bin[K]-1));
        for(RI j=0;j<i;++j)
            if(b[tot]&bin[j]) vis[j]=1;
    }

这样操作后，我们得到了若干个数。由于OR操作也是可以用NAND进行的，假如我们要构造一个哪几位是1，而这几位之间没有约束的数，就直接将这些b给OR起来即可。

现在开始求解，问题转化为小于等于R的结果数-小于等于L的（建议不看语言描述直接看代码理解）。
从高位往低位考虑。假设当前得到的结果是now，OR上当前这个$b_i$依然不会大于当前限制，那么不OR这个$b_i$，对于任何$b_j(j>i)$，因为它的第i位及更高位不可能是1，所以OR任意多个也不会比OR上$b_i$的结果大，所以不OR$b_i$的话会有$2^{tot-i}$个新的方案，继续考虑OR了$b_i$的方案数，就让nowOR一下$b_i$。假如会大于当前限制，肯定不能OR，跳过即可。

LL dp(LL x) {
    if(x==-1) return -1;
    LL now=0,re=0;
    for(RI i=1;i<=tot;++i)
        if((now|b[i])<=x) now|=b[i],re+=bin[tot-i];
    return re;
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
typedef long long LL;
LL L,R,ans,now;int n,K,js,tot;
LL bin[66],a[1005],b[66];int vis[66];
LL dp(LL x) {
    if(x==-1) return -1;
    LL now=0,re=0;
    for(RI i=1;i<=tot;++i)
        if((now|b[i])<=x) now|=b[i],re+=bin[tot-i];
    return re;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%lld%lld",&n,&K,&L,&R);
    for(RI i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&a[i]);
    bin[0]=1;for(RI i=1;i<=K;++i) bin[i]=bin[i-1]<<1LL;
    for(RI i=K-1;i>=0;--i)
        if(!vis[i]) {
            b[++tot]=bin[K]-1;
            for(RI j=1;j<=n;++j)
                if(a[j]&bin[i]) b[tot]&=a[j];
                else b[tot]&=(a[j]^(bin[K]-1));
            for(RI j=0;j<i;++j)
                if(b[tot]&bin[j]) vis[j]=1;
        }
    printf("%lld\n",dp(R)-dp(L-1));
    return 0;
}