题意
有N(1<=N<=100)条双向边,我们知道每条边的三个属性:边的长度,边的一端所连接的边,边的另一端所连接的边。边不连接自身,且只在端点处连接其他边。求其中的最小环。
输入格式
第一行:N(1<=N<=100)。
第2到3*N+1行:每三行为一组:
每组第一行有四个整数:边的标号s(1<=s<=N),长度L(1<=L<=255),一端连接的边的数量Num1(1<=Num1<=8),另一端连接的边的数量Num2(1<=Num2<=8)。
第二行有Num1个数,为一端连接的边的序号。
第三行有Num2个数,为另一端连接的边的序号。
输出格式一行,表示最小的周长。
正解
第一步,我们考虑一下建边的方法:我的第一个想法是把每条篱笆两端各设置一个点,若两条篱笆相连接,则把其对应点给连条权为0的边,表示可以任意通行。那问题就是怎么找到这条篱笆的这端应该跟那条篱笆的哪端相连呢?有人采用了并查集,亦可以暴力存储,其存储的依据是它们是相互连接的。意思是1与2、3连接,那么2与1、3连接。记下1、2、3,可以证明数集{1,2,3}最多只会出现一次。
进一步思考,我们考虑这些点其实可以缩成一个点,那关键就是怎么找到一条篱笆两端的点的编号?同样根据上面讲到的特性,把每一个点连接的边的编号记下来,作为改点的标记。后面寻找篱笆一端的点时,把输入的边的编号作为在搜索素材,在以往出现的点中匹配。若有标记与搜索素材完全相同的点,那么返回这个点的编号;没有,则新加入一个点,同时把以搜索素材给它附上标记。
仔细观察样例的输入,发现其输入有一个隐含的规律:假设一条篱笆两端分别为A和B。篱笆1的A连接了2、3,B连接了4、5。那么2、3的A会连接1;4、5的B会连接1。根据这样一个特性,我们可以记录篱笆x的A连接y为ma[x][y]=1;篱笆x的B连接y为ma[x][y]=2。所以,如果这次从1来,下次就要去到2,同时保证会经过了该篱笆。
第二步,求最小环:
这个可以用floyd来解决,也可以用原始的spfa来解决。
floyd就是一个裸的floyd求最小环。不会?
spfa要枚举所有的边,每次去掉这条边,从这条边的一端出发,看看去到另一端最短距离是多少,再加上这条边的长度,即是经过这条边的最小环了。
这题因为数据极小,还可以用dfs爆搜枚举所有环。别忘了剪枝:超过目前的最小环的长度的就不需要枚举下去了。
代码
采用第二种构图方法。floyd求最小环:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=522133279;
const int maxn=110;
int dis[maxn][maxn],ma[maxn][maxn];
bool q[maxn][maxn];int cc=0;
int uu[10];
int find_id(int ss)
{
for(int i=1;i<=cc;i++)
{
int j;
for(j=0;j<=ss;j++)
{
if(q[i][uu[j]]==false) break;
}
if(j>ss) return i;
}
cc++;
for(int i=0;i<=ss;i++)
{
q[cc][uu[i]]=true;
}
return cc;
}
void floyd()
{
int ans=inf;
for(int k=1;k<=cc;k++)
{
for(int i=1;i<k;i++)
for(int j=i+1;j<k;j++) ans=min(ans,dis[i][j]+ma[i][k]+ma[k][j]);
for(int i=1;i<=cc;i++)
for(int j=1;j<=cc;j++) dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
memset(dis,31,sizeof(dis));
memset(ma,31,sizeof(ma));
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x,c,ls,rs;
scanf("%d%d%d%d",&x,&c,&ls,&rs);
uu[0]=x;
for(int j=1;j<=ls;j++) scanf("%d",&uu[j]);
int l=find_id(ls);
for(int j=1;j<=rs;j++) scanf("%d",&uu[j]);
int r=find_id(rs);
dis[l][r]=dis[r][l]=ma[l][r]=ma[r][l]=c;
}
floyd();
return 0;
}
spfa求最小环:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=522133279;
const int maxn=110;
bool ma[maxn][maxn];
struct edge
{
int x,y,c,next;
bool v;
}e[maxn*2];int len=0,last[maxn];
void ins(int x,int y,int c)
{
e[++len]=(edge){x,y,c,last[x],true};last[x]=len;
}
bool q[maxn][maxn];int cc=0;
int uu[10];
int find_id(int ss)
{
for(int i=1;i<=cc;i++)
{
int j;
for(j=0;j<=ss;j++)
{
if(q[i][uu[j]]==false) break;
}
if(j>ss) return i;
}
cc++;
for(int i=0;i<=ss;i++)
{
q[cc][uu[i]]=true;
}
return cc;
}
int dis[maxn];
int list[maxn];int head,tail;
bool vis[maxn];
int spfa(int st,int ed)
{
memset(dis,63,sizeof(dis));dis[st]=0;
memset(vis,false,sizeof(vis));
int head=0,tail=0;
list[tail++]=st;
while(head!=tail)
{
int x=list[head++];if(head==maxn*2) head=0;
vis[x]=false;
for(int k=last[x];k;k=e[k].next)
{
int y=e[k].y;
if(!e[k].v) continue;
if(dis[y]>dis[x]+e[k].c)
{
dis[y]=dis[x]+e[k].c;
if(vis[y]==false)
{
vis[y]=true;
list[tail++]=y;if(tail==maxn*2) tail=0;
}
}
}
}
return dis[ed];
}
int main()
{
// memset(ma,false,sizeof(ma));
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x,c,ls,rs;
scanf("%d%d%d%d",&x,&c,&ls,&rs);
uu[0]=x;
for(int j=1;j<=ls;j++) scanf("%d",&uu[j]);
int l=find_id(ls);
for(int j=1;j<=rs;j++) scanf("%d",&uu[j]);
int r=find_id(rs);
if(ma[l][r]==false) ins(l,r,c),ins(r,l,c);
ma[l][r]=ma[r][l]=true;//两点间只建一次边
}
int ans=inf;
for(int i=1;i<=len;i+=2)
{
e[i].v=e[i+1].v=false;//断边
ans=min(ans,spfa(e[i].x,e[i].y)+e[i].c);//记得加回e[i].c以建成完整的环
e[i].v=e[i+1].v=true;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}