矩阵不仅仅是数字排列而成的表而已。比如：m x n 矩阵A，它表示了从n维空间到m维空间的“映射”。具体来讲，就是把n维空间中的点x (n维列向量) 变换到m维空间中的点 Ax （m维列向量）的映射。
第0章 动机
我们人类生活在3维空间中，为了处理现实世界中的问题，我们需要一种合适的方式来描述“空间”，这时候就是线性代数施展作用的机会，向量空间是对现实空间进行一定程度的抽象化后得到的产物。线性代数为我们提供了一套便捷的概念和语言来讨论“空间”。
第1章 用空间的语言表达向量、矩阵和行列式
中心思想：
我们几乎处处都会遇到要处理由多个数值组成的成组的数据的情况。对于这样的数据，我们不是简单地将其看作是一组组的数，而是看作“空间中的点”来进行直观的处理，这就是本书的中心思想。
1.1 向量与空间
当我们需要把几个数值放在一起，作为一个整体处理时，就有了向量。这便是引入向量的原因。
1.1.1 最直接的定义：把数值罗列起来就是向量
把数排成一列就是向量（简单粗暴的定义）。
由于书写习惯的原因，在没有特别说明的情况下，提到向量，就是指竖排的“列向量”。另外，由于列向量书写起来比较占空间，因此我们通常会使用以下写法：
和
其中，T 是 Transpose（转置）的首字母。
1. 为什么这么偏爱列向量？
对于“将映射f作用于x”的操作，我们通常都会写成f(x)。用同样的句式，对于“将矩阵A（表示线性映射）作用于向量x”的操作，我们习惯于用矩阵的乘积Ax来表示。
如果这里的x是行向量的话，结果就要写成xA。这种先对象后操作的写法，不太符合一般人的思维习惯。可是，对于那些熟悉面向对象程序设计的读者来说，相比f(x)来说，说不定会觉得x.f()的写法可能更加自然呢。
注意：
我们假设在某坐标系下有 x + y = z。在另一坐标系下，令x, y, z对应的坐标分别为 x’, y’, z’。无论我们观察向量的视角如何变化，x’ + y’ = z’总是成立的。数量乘法也是同样的道理。
假设在某坐标系中有 xy = z，现在我们转移到另一个坐标系中，就会发现 x’ y’ ≠ z’ 。从线性代数的角度看来，规定的乘法xy只不过是在特定坐标系下看到的一种现象，而不能反映对象的本身的性质。
1.1.2 “空间”的形象
2. 一维向量不就是数吗？
当然了，把一维向量（a）和数a看作是同一个东西也是很自然的想法，因为两者都可以表示为直线上的一点。但是要注意的是，根据单位的选取方式的不同，数值也是会变化的。在大部分程序设计语言中，长度为1的数组和单个数值也是两回事，在处理的时候也需要专门进行转换。
1.1.3 基底
- 宇宙中没有上下也没有左右
在宇宙中没有刻度，也没有特定的方向，我们得到了一张干干净净的“空间”。能作为参照的，仅仅剩下孤零零的一个原点O，虽然一开始会感到一丝不安，但是我们会发现，在这样的世界中一切都是可行的。也就是说，加法和数量乘法，依旧可以用有向线段来解释。那些可有可无的东西，去掉才是更明智的选择。对于这样一个附加了加法与数量乘法运算的世界，我们称之为“线性空间”，或称之为“向量空间”。
在这样一个世界中，由于更加强调方向性，因此我们用 、
、
等来表示向量。当我们希望将向量看作是由并排的数时，用 x 来表示；当我们希望强调方向时，则将向量看作是有向线段，用
来表示。
线性空间是我们生活的现实空间的一个缩影，是对现实空间的抽象化。正因为不是现实世界的完全复制，所以不能照搬生活经验。在这个抽象世界中，除了特殊的零向量 以外，有向线段无论放在哪里都是同等的，在这个抽象世界中，我们能做的只有加法、数量乘法，一切都是这么简单直接。
这里特别要注意的是，在这个世界中，没有定义长度，也没有定义角度。对于不同方向的向量，无法比较大小。旋转操作同样没有定义，在最朴素的线性空间中，这些功能都被剥夺了。（定义了长度和角度的是加强版的线性空间，称为內积空间）