洛谷 CF317D Game with Powers sg函数

题目大意：
$Vasya$和$Petya$玩一个游戏，每人每次写一个$x\in[1,n]$的正整数。当$x$被写后，$x$及$x$的任意正整数幂都不能被写，写不了数字的人输。假设$Vasya$为先手，问当两边都是最佳操作时，谁能获胜。

分析：
我们可以把一些能用同样底数的幂次分组，即分成$c,c^2,c^3....$，为了让分开的集合相互独立，$c$不能表示成其他数（除了$c^1$）的幂形式。既然已经同底数了，所以可以理解为每次可以取一个数$i\in[1,k]$，当选了$i$时，$i*j$不能选，$k$为满足$c^k<=n$的最大整数，问谁能赢的问题。

因为$n≤1e9$，所以$2^{30}>1e9$ ，所以$k＜30$ 。对于每一个组，都相当于一个$NIM$游戏，可以用$sg$函数求解，再把所有组的$sg$异或起来。我们可以打表打出大小为$[1,30]$的组的$sg$值。

打表代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>

using namespace std;

map <int,int> h;

int a[35],n,g;

int dfs(int x)
{
    if ((x==0) || (h[x])) return h[x];
    bool b[35];
    for (int i=0;i<=n;i++) b[i]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int sub=x;
        if ((x&(1<<(i-1)))!=0)
        {
            for (int j=i;j<=n;j+=i) sub&=g-(1<<(j-1));
            b[dfs(sub)]=1;
        }
    }
    int c=0;
    for (int i=0;i<=n;i++)
    {
        if (!b[i])
        {
            c=i;
            break;
        }
    }
    h[x]=c;
    return c;
}

int main()
{
    for (int i=1;i<=30;i++)
    {   
        n=i;
        g=(1<<n)-1;     
        for (int j=1;j<=i;j++) a[j]=1;
        printf("%d\n",dfs(g));
    }
}

因为大于$\sqrt{n}$的数的$k$值都是$1$，所以我们可以暴力前$\sqrt{n}$个数的$sg$异或和。但是要排除掉那些可以写成其他数幂次（除$c^1$）的数，然后统计一下$[\sqrt{n}+1,n]$有多少个这样的数，那么这个范围内剩下的数的$sg$值都等于$sg[1]$。因为是异或，只要判断剩下的数的奇偶性即可。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const LL sg[31]={0,1,2,1,4,3,2,1,5,6,2,1,8,7,5,9,8,7,3,4,7,4,2,1,10,9,3,6,11,12,14};
const int maxn=1e5+7;

using namespace std;

LL n;
LL ans,v[maxn],t;

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    LL p=trunc(sqrt(n));
    ans=sg[1];  
    for (LL i=2;i<=p;i++)
    {
        if (v[i]) continue;
        LL c=i,k=1;
        while (c*i<=n)
        {
            c*=i;
            if (c<=p) v[c]=1;
                else t++;
            k++;
        }       
        ans^=sg[k];
    }   
    if ((n-p-t)%2==1) ans^=sg[1];
    if (ans==0) printf("Petya");
           else printf("Vasya");
}