题目给定斐波那契数列递推公式F(n),要找出不满足k个F(i)(0<=i<=k)之和等于任意整数的n值是多少。
先暴力打表:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000;
ll f[N];
ll ans[200][2000];
int main(){
f[0]=0;
f[1]=1;
f[2]=1;
for(int i=2;i<=1000;i++){
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
}
for(int i=0;i<=15;i++){
printf("f[%d]=%lld\n",i,f[i]);
}
memset(ans,0,sizeof(ans));
ans[0][0]=1;
for(int i=0;i<=40;i++){
for(int k=1;k<=40;k++){
for(int j=f[i];j<1000;j++)
ans[k][j]+=ans[k-1][j-f[i]];
}
}
for(int i=0;i<=40;i++){
for(int j=1;j<=700;j++)
if(ans[i][j]==0){
printf("%d\n",j);
break;
}
}
return 0;
}
一直尝试发现递推式有三项:
利用高斯消元法得出:
所以得出公式 f(n)=4f(n-1)-4f(n-2)+f(n-3); 再利用矩阵快速幂求解f(n)即可
f(1)=4, f(2)=12, f(3)=33
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
struct matrix{
ll x[3][3];
};
matrix multi(matrix a,matrix b)//矩阵相乘
{
matrix temp;
memset(temp.x,0,sizeof(temp.x));
for(int i=0;i<3;i++)
for(int j=0;j<3;j++)
for(int k=0;k<3;k++)
{
temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
temp.x[i][j]%=mod;//负数取模的问题,除法取模
}
return temp;
}
matrix quick_multi(matrix a,ll n)//矩阵快速幂
{
matrix temp=a;
n--;
while(n){
if(n&1)
temp=multi(temp,a);
a=multi(a,a);
n>>=1;
}
return temp;
}
int main()
{
ll n;
while(cin>>n)
{
if(n==1)
{
printf("4\n");
continue;
}
if(n==2)
{
printf("12\n");
continue;
}
if(n==3)
{
printf("33\n");
continue;
}
matrix A;
matrix ans;
memset(A.x,0,sizeof(A.x));
memset(ans.x,0,sizeof(ans.x));
A.x[0][0]=4;A.x[1][0]=-4;A.x[2][0]=1;
A.x[0][1]=1;A.x[1][2]=1;A.x[2][2]=0;
ans.x[0][0]=33,ans.x[0][1]=12,ans.x[0][2]=4;
A=quick_multi(A,n-3);
ans=multi(ans,A);
printf("%lld\n",(ans.x[0][0]+mod)%mod);
}
return 0;
}