【图像处理】SURF特征点检测

参考

SURF（Speeded-Up Robust Features）是对SIFT的改进，提升了算法的执行效率，为算法在实时计算机视觉系统中应用提供了可能。

特征点检测

SURF的兴趣点检测是基于Hessian矩阵的,它依靠Hessian矩阵行列式的局部最大值定位兴趣点位置。当Hessian矩阵行列式局部最大时,所检测出的实际上是斑状结构(blob-like structures)。所谓斑状结构是指:比周围区域更亮或更暗的一个小区域。

图像 $f(x,y)$ 的Hessian矩阵表示如下：

H (f (x, y)) = [\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{matrix}]

$H(f(x,y))=\begin{bmatrix} \frac{{\partial}^2f}{\partial{x}^2} & \frac{{\partial}^2f}{\partial{x}\partial{y}} \\ \frac{{\partial}^2f}{\partial{x}\partial{y}} & \frac{{\partial}^2f}{\partial{y}^2} \\ \end{bmatrix}$
图像

f (x, y)

$f(x,y)$ 经过高斯滤波后的的Hessian矩阵表示如下：

H (x, σ) = [\begin{matrix} L_{x x} (x, σ) & L_{x y} (x, σ) \\ L_{x y} (x, σ) & L_{y y} (x, σ) \end{matrix}]

$H(x,\sigma)=\begin{bmatrix} L_{xx}(x,\sigma) & L_{xy}(x,\sigma)\\ L_{xy}(x,\sigma) &L_{yy}(x,\sigma) \\ \end{bmatrix}$
在构建多尺度空间时,SURF算法使用 盒式滤波(box filter)近似代替SIFT算法中的二阶高斯函数,然后与原始图像做卷积,并在这一过程中应用了 积分图像（的技巧,这是两者最根本的区别。

对于x、y方向上的滤波，黑色区域赋权重为-2，白色区域赋权重为l，其余区域不赋权重；对于xy方向的滤波，黑色区域赋权重为-1，白色区域赋权重为1。这样一来，Hessian矩阵的二阶导数行列式就可以近似为：

d e t (H) = D_{x x} D_{y y} - (w D_{x y})^{2}

$det(H)=D_{xx}D_{yy}-(wD_{xy})^2$
其中，

D_{x x}

$D_{xx}$ 是对像素的二阶求导：

\begin{aligned} (105) & D_{x x} & = [f (x + 1, y) - f (x, y)] - [f (x, y) - f (x - 1, y)] \\ (106) & = f (x + 1, y) + f (x - 1, y) - 2 * f (x, y) \end{aligned}

$\begin{align} D_{xx}&=[f(x+1,y)-f(x,y)]-[f(x,y)-f(x-1,y)]\\ & = f(x+1,y)+f(x-1,y)-2*f(x,y) \end{align}$
$w$ 取0.9较为合理。利用盒式滤波结合积分图像求取尺度空间函数的方法非常巧妙,这也正是该算法比SIFT检测算法更快速的主要原因。

特征点描述

同Sift一样，Surf的尺度空间也是由O组L成组成，不同的是，Sift中下一组图像的尺寸是上一组的一半，同一组间图像尺寸一样，但是所使用的高斯模糊系数逐渐增大；而在Surf中，不同组间图像的尺寸都是一致的，不同的是不同组间使用的盒式滤波器的模板尺寸逐渐增大，同一组间不同层间使用相同尺寸的滤波器，但是滤波器的模糊系数逐渐增大，如下图所示：

这里写图片描述

为使兴趣点描述算子具有旋转不变的性能,首先要赋予每一个兴趣点方向特征。我们在以某个兴趣点为圆心，以6s(s为该兴趣点对应的尺度)为半径的圆形邻域里,用尺寸为4s的Haar小波模板对图像进行处理,求x、y两个方向的Haar小波响应。Haar小波的模板如下图所示,其中左侧模板计算x方向的响应，右侧模板计算y方向的响应，黑色表示一1，白色表示+1。

用Haar小波滤波器对圆形邻域进行处理后，就得到了该邻域内每个点所对应的x、y方向的响应，然后用以兴趣点为中心的高斯函数( $\sigma=2s$ )对这些响应进行加权。用一个圆心角为 $\pi/3$ 扇形以兴趣点为中心旋转一周，计算该扇形处于每个角度时，它所包括的图像点的Haar小波响应之和。由于每一点都有x、y两个方向的响应，因此扇形区域中所有点的响应之和构成一个矢量。把扇形区域环绕一周所形成的矢量都记录下来，取长度最大的矢量，其方向即为该兴趣点所对应的方向。

这里写图片描述

为了构建描述子向量，首先要确定一个以兴趣点为中心的正方形邻域。该邻域的边长为20s(s为该兴趣点对应的尺度)，把上面所确定的兴趣点方向作为该邻域的y轴方向。我们直接使用Haar小波滤波器直接对原始图像进行处理，然后对所得响应进行插值处理，从而得到相对于兴趣点方向的dx、dy。把该正方形区域分成4x4个子块区域，在每一个子块区域中用Haar小波滤波器进行处理(该处的Haar小波模板尺寸为2sx2s)。我们用dx表示水平方向的Haar小波响应，用dy表示竖直方向的Haar小波响应。这里的水平和竖直是相对于兴趣点方向来说的。在构建描述子向量之前，对于所有的dx、dy都要用一个以兴趣点为中心的高斯函数加权，该高斯函数的σ=3.3s。

这里写图片描述

在每个子块区域中对dx、dy、|dx|、|dy|求和，从而得到一个4维向量。把4*4个子块区域的向量连接起来就得到了一个64维的向量，此向量就是描述该兴趣点的描述子(deseripror)特征向量。如果我们对dx、Idxl求和时分成dy<0,dy>=0两种情况，相应的在对dy、|dy|求和时分成dx<0,dx>=两种情况，我们就会得到128维的描述子向量。

特征点匹配

与Sift特征点匹配类似，Surf也是通过计算两个特征点间的欧式距离来确定匹配度，欧氏距离越短，代表两个特征点的匹配度越好。不同的是Surf还加入了Hessian矩阵迹的判断，如果两个特征点的矩阵迹正负号相同，代表这两个特征具有相同方向上的对比度变化，如果不同，说明这两个特征点的对比度变化方向是相反的，即使欧氏距离为0，页直接予以排除。