二分图的常用定义&性质&定理&二分图判定模板

补充定义和定理：

如果建的是双向边那么最后匹配数要除以二（因为这样一来，在统计配对数时，每组配对计算了两次（即a，b配对时，b也与a配对）

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目

最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择

最大独立集=所有顶点数-最小顶点覆盖

最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连

最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）

定理2：最大匹配数 = 最大独立数

定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

如何判定二分图？

用BFS判断二分图，将每对点分为0或1，如果所有点对都满足这个规律，那就是二分图。

代码：

bool bfs()
{
    memset(judge,-1,sizeof(judge));
    queue<int> q;
    q.push(1);
    judge[1]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int v=q.front();
        q.pop();
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            if(mp[v][i])
            {
                if(judge[i]==-1)
                {
                    judge[i]=(judge[v]+1)%2;
                    q.push(i);
                }
                else
                {
                    if(judge[i]==judge[v])
                        return false;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}