引言
Markov假设
是基于模板表示的时序模型
的基础。也是理解HMM的前提。
简单说来,Markov假设
使得概率计算得到简化。下面讲解如何直观的理解Markov假设
,以及它详细推导过程。
时序模型
当对动态环境进行建模时,我们感兴趣的是,当问题的状态
随时间变化时,对其关于状态
进行推理。
这种环境可以根据系统状态
进行建模。用
X(t)
表示系统变量(也叫模板变量
)。可以用下面的贝叶斯网
来表示时序模型
。
在这个模型中,概率
P(X(0:T))
的表达如下:
P(X(0:T))=P(X(0),X(1),X(2),...,X(T))
概率
P(X(0:T))
的计算如下:
P(X(0:T))=P(X(0),X(1),X(2),...,X(T))
=P(X(0))P(X(1)|X(0))P(X(2)|X(0:1))...P(X(T)|X(0:T−1))
所以,一般表达式为:
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P(X(0:T))=P(X(0))∏0T−1P(X(t+1)|X(0:t))
这个概率的计算还是比较复杂的。有没有办法简化呢?
Markov假设
只要时序模型
满足Markov假设
,概率
P(X(0:T))
的计算就能得到简化。
所谓Markov假设
,就是
X(t+1)⊥X(0:t−1)|X(t)
即
X(t+1)
与
X(0:t−1)
关于
X(t)
条件独立。
满足Markov假设
的贝叶斯网
如下
这样的贝叶斯网比上图简化了不少,所以计算
P(X(0:T))
也得到了简化:
P(X(0:T))=P(X(0))∏0T−1P(X(t+1)|X(t))
总结
满足Markov假设
后,概率
P(X(0:T))
的计算可以得到简化。满足Markov假设
的贝叶斯网,各模板变量
之间的关系也简单一些。
参考
- (1) Daphne Koller。概率图模型。第六章-基于模板的表示