jzoj1161-机器人M号【欧拉函数,dp】

正题

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大意

因为题目比较gou，所以就直接放题目了

机器人1号可以制造其他的机器人。 第2秒，机器人1号造出了第一个机器人——机器人2号。 第3秒，机器人1号造出了另一个机器人——机器人3号。 之后每一秒，机器人1号都可以造出一个新的机器人。第m秒造出的机器人编号为m。我们可以称它为机器人m号，或者m号机器人。 机器人造出来后，马上开始工作。m号机器人，每m秒会休息一次。比如3号机器人，会在第6，9，12，……秒休息，而其它时间都在工作。 机器人休息时，它的记忆将会被移植到当时出生的机器人的脑中。比如6号机器人出生时，2，3号机器人正在休息，因此，6号机器人会收到第2，3号机器人的记忆副本。我们称第2，3号机器人是6号机器人的老师。 如果两个机器人没有师徒关系，且没有共同的老师，则称这两个机器人的知识是互相独立的。注意：1号机器人与其他所有机器人的知识独立（因为只有1号才会造机器人），它也不是任何机器人的老师。 一个机器人的独立数，是指所有编号比它小且与它知识互相独立的机器人的个数。比如1号机器人的独立数为0，2号机器人的独立数为1（1号机器人与它知识互相独立），6号机器人的独立数为2（1，5号机器人与它知识互相独立，2，3号机器人都是它的老师，而4号机器人与它有共同的老师——2号机器人）。 新造出来的机器人有3种不同的职业。对于编号为m的机器人，如果能把m分解成偶数个不同奇素数的积，则它是政客，例如编号15；否则，如果m本身就是奇素数或者能把m分解成奇数个不同奇素数的积，则它是军人，例如编号 3, 编号165。其它编号的机器人都是学者，例如编号2, 编号6, 编号9。 第m秒诞生的机器人m号，想知道它和它的老师中，所有政客的独立数之和，所有军人的独立数之和，以及所有学者的独立数之和。可机器人m号忙于工作没时间计算，你能够帮助它吗？ 为了方便你的计算，Macsy已经帮你做了m的素因子分解。为了输出方便，只要求输出总和除以10000的余数。

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解题思路

首先一个机器人m的独立数是$\varphi(m)$而老师的数量就是他的因数数量-2，然后把M分解为

$$p1^{e1}\times p2^{e2}\times p3^{e3}...\times pk^{ek}$$
然后
$$\varphi(m)=p1^{e1}\times p2^{e2}...\times pk^{ek}\times (1-\frac{1}{p1})\times (1-\frac{1}{p2})...\times (1-\frac{1}{pk})$$
之后
$$\varphi(m)=(p1-1)p1^{e1-1}\times (p2-1)p2^{e2-1}...\times (pk-1)pk^{ek-1}$$
然后我们就可以发现政客的独立数就是在M的奇质因数中选择偶数个不同的乘起来的欧拉函数，军人就是选奇数个。然后学者就是Ｍ所以的独立数减去政客和军人。
选数我们可以用dp
$f[i\ mod\ 2][0]$表示在M因子中只包含前i个的政客的欧拉函数
$f[i\ mod\ 2][1]$表示在M因子中只包含前i个的政客的欧拉函数
然后进行动态转移
$$f[i\ mod\ 2][0]=f[(i+1)\ mod\ 2][0]+f[(i+1)\ mod\ 2][1]*(p-1)$$
$$f[i\ mod\ 2][1]=f[(i+1)\ mod\ 2][1]+f[(i+1)\ mod\ 2][0]*(p-1)$$
最后计算 $\varphi(m)$减去最后的政客独立数总和和军人独立数总和

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代码

#include<cstdio>
#define mods 10000
using namespace std;
int n,p,e,f[2][2],m=1;
int ksm(int x,int k)//快速幂
{
    int ans=1;
    while (k)
    {
        if (k&1) ans=(ans*x)%mods;
        x=x*x%mods;
        k/=2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d%d",&p,&e);
    m=m*ksm(p,e)%mods;
    if (p==2) f[1][0]=1;
    else
    {
        f[0][0]=1;
        f[1][0]=(f[0][0]+f[0][1]*(p-1)%mods)%mods;
        f[1][1]=(f[0][1]+f[0][0]*(p-1)%mods)%mods;
    }//初始化（sro xjqのdalao orz）
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&p,&e);
        m=m*ksm(p,e)%mods;
        f[i&1][0]=(f[~-i&1][0]+f[~-i&1][1]*(p-1)%mods)%mods;
        f[i&1][1]=(f[~-i&1][1]+f[~-i&1][0]*(p-1)%mods)%mods;
        //动态转移
    }
    f[n&1][0]--;m=((m-1-f[n&1][0]-f[n&1][1])%mods+mods)%mods;//计算学者
    printf("%d\n%d\n%d",f[n&1][0],f[n&1][1],m);
}