【剑指offer】10、斐波那契数列

题目一

给定一个n，输出斐波那契数列的第n项

思路1

递归，自顶而下，但会有很多重复，效率低，AC不了

int Fibonacci(int n) {
    if (n <= 0)
        return 0;
    if (n == 0)
        return 1;
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

思路2

自下而上计算，AC

int Fibonacci(int n) {
　　int result = 0;
　　if (n < 2) return n;
　　int x1 = 0, x2 = 1;
　　for (int i = 2;i <= n; i++)
　　{
　　　　result = x1 + x2;
　　　　x1 = x2;
　　　　x2 = result;
　　}
　　return result;
}

题目二

一只青蛙可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求青蛙跳上一个n级台阶共有多少方案。

思路

这个相当于把n分解成1和2的排列，如 3 = 1 + 1 + 1, 3 = 1 + 2, 3  = 2 + 1，从组合数学角度来看已知是斐波那契数列

也可从递推公式看 f(n) = f(n-1) + f(n-2), 这也就是动态规划

代码同上。

题目三

一只青蛙可以跳上1级，2级...，n级台阶，请问跳上一个n级台阶的方案。

思路

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ...+ f(0) = 2f(n-1)

f(n) = 2^n-1, f(1) = 1

int jumpFloorII(int number) {
    if (number <= 1) return number;
　　int res = 1;
　　for (int i = 2; i <= number; i++)
　　{
　　　　res = 2 * res;
　　}
　　return res;
}

题目四

用2×1的小矩形横着或者竖着覆盖 2×8 的大矩形，有几种方案。

 

 

也是斐波那契数列