出于某种内驱的需要，我们定义单位矩阵
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}的行列式为1。各位亲爱的读者，如果你们在xy坐标系中画出（1，0）和（0，1）这两个向量，然后分别平移之，你们会发现这4条线段刚好组成1个面积为1的正方形。现在，让我们把第一个向量（1，0）变成（1，1），像下面
1 0 a b
1 1 c d
各位亲爱的读者，你们想想，这两个向量分别平移后形成的平行四边形的面积又是多少呢？你们可能会去作图，然后作垂直线。现在我们有了2阶行列式的行列式公式
ad-bc
所以我们可以很容易算出新的面积：1x1-0x1=1
面积解决了，那体积呢？
和之前一样，我们可以定义\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 &1 \\ \end{bmatrix}的行列式为1——即体积为1。
看到这里，相信聪明的读者已经发现了——在单位矩阵中，行列式的值似乎等于"\"对角线元素的乘积。事实是否这样呢？为此，我将给出下面三个不容反驳和质疑的定义。
定义二：交换矩阵的两行，行列式的值将取反。
这即是说，如果我们把
1 0 0 1
0 1 交换为 1 0 ，行列式的值将变为-1。
这个定义的用处是，如果我们在任意大的一个矩阵中发现有两行相等，则这个矩阵的行列式的值为0。why?
because 假设矩阵行列式的值为a,交换这相等的两行后，矩阵行列式的值仍为a，but according to 定义二，a should be to -a,
什么样的数字的负值等于其本身呢？只有0 —— 0=-0。
定义三
a+x b+y 行列式的值 = a b 行列式的值 + x y 行列式的值
c d c d c d
attention:这个x和y加在任意一行都是可以的。
这是因为，根据公式，原矩阵行列式的值 = (a+t)d - (b+t)c
= ad-bc + td-tc
定义四
at bt 行列式的值 = t * a b
c d c d
现在，我们如何求
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}一脸懵逼？哈哈哈。
亲爱的读者，在上面所有关于行列式的定义中，还记得定义一吗？我们说，单位矩阵的行列式为1。而所谓的单位矩阵，指的是除了"\"这条线上的元素，其余元素皆为0，并且"\"这条线上的元素全部为1的矩阵。
在上面的矩阵中，如果我们只保留"\"上的元素，像下面
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 9 \\ \end{bmatrix}你们是不是迫不及待的要告诉我这个矩阵的行列式为 1*5*9=45 了！
答案是正确的，因为根据定义4，我们可以把5和9看成5x1和9x1,把5和9分别提出，又根据定义一单位矩阵的值为1，perfect!
所以，现在我们的目标是如何把原矩阵 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}1，5，9下面的4，7，8化为0。
要让4为0，我们只需第二行（4，5，6）减去4倍第一行（1，2，3）就好了，并且不会影响到行列式的值。这是因为，根据定义三和定义四，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 又根据定义二我们知道， 1 2 3
4-4*1 5-4*2 6-4*3 = 4 5 6 - 4* 1 2 3 有两行相等的矩阵行列 1 2 3
7 8 9 7 8 9 7 8 9 式的值为0，所以 7 8 9 为0！
因此，我们可以把原矩阵化简为
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0& -3& -6 \\7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}接着再用（7，8，9）减去7倍（1，2，3），这样7又会变为0，用同样的方法，我们发现无法把（1，5，9）上面的（2，3，6）化为0——当且仅当这个矩阵是奇异矩阵！换言之，当我们把"\"下面的所有元素都化为0后，发现有任意"\"上的元素为0，则行列式为0，例如 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 9\\ 0& 0& 6 \\0 & 0 &3 \\ \end{bmatrix}只要（0，0，6）减去2倍（0，0，3)，（0，0，6）就会变成（0，0，0)，事实上，无论这两个数字是3和6或 其它的，我们总能找到它们的最大公约数，使其中一行全为0，恰巧的是，0又可以看成0*0，根据定义4，我们可以把0提取出来，于是矩阵的行列式为0！
just keep on! 相信你们会得出答案的！——答案是0！what's it mean?这意味着由这三个向量组成的只是一个平面！意味其中任意一个向量在其它两个向量所组成的平面上！因为
1 3 2
4 + 6 = 2倍 4 ！
7 9 8
好了，下面终于要开始进入正题了！
一开始就提到，二阶矩阵
\begin{bmatrix} a & b \\ c& d\\ \end{bmatrix}的行列式公式是ad-bc,在此，我希望你们深刻认识到一个道理：任何的数学公式，都是从最基本的公理或者定义推出来的！下面，我将给大家证明这个公式。
首先，根据定义三，
a b a+0 0+b a 0 0 b a 0 a 0 0 b 0 b
c d 可以看成 c d = c d + c d = c 0 + 0 d + c 0 + 0 d ,
其中 a 0 和 0 b 的值都为0，剩下 a 0 和 0 b
c 0 0 d 0 d c 0,
前者的行列式的值为ad,后者根据定义2交换两行，因此为-bc,加起来为ad-bc，至此得证。
友情提醒：后面的内容如核爆般高能，如果前面的内容还没消化完，请谨慎观看！
我的目标，是给出求任意矩阵的公式，但，在此之前，让我们先看下三阶矩阵的情况\begin{bmatrix} a & b & c\\ d& e& f\\g & h & i \\ \end{bmatrix}经过前面的一番铺垫后，你们也不知道接下来要怎么做。。。
让我们先把[a b c]单独拿出来，转换为[a+0+0 0+b+0 0+0+c] ！！！然后再次根据定义三，原矩阵就就可以拆解为下面三个矩阵之和
a 0 0 0 b 0 0 0 c
d e f + d e f + d e f
g h i g h i g h i
要求行列式，我们希望除了"\"上的元素外，其它的地方0越多越好！
因为，只要出现一行或者一列的元素全为0，我们就不用再次理会其它的元素了！
keep on ! 保持 [a 0 0] 不变， 我们可以得到 \begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ d& 0& 0\\g & h & i \\ \end{bmatrix}再次保持[d 0 0]不变，我们又可以得到\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ d& 0& 0\\g & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}显然，这个矩阵行列式的值为0！事实上，在由[a 0 0] 组成的九个矩阵中，只有2个的行列式是不为0的！分别是
a 0 0 a 0 0
0 0 i 0 h 0
对于第二个矩阵，交换第二和第三行，因此可得aei-afh。
用同样的方法，我们可以求出[ 0 b 0]和[0 0 c] 。
谢谢阅读。