Python求矩阵的范数和行列式

在scipy.linalg的函数中，往往会提供两种参数，其一是check_finite，当为True时将进行有限检查，另一类是overwrite_xxxx，表示xxxx在计算过程中是否可以被覆写。简洁起见，后文中说a提供覆写开关，就表示存在一个参数overwrite_a，当其为True时，a允许计算过程中被覆写；若说提供有限检查开关，则代表提供check_finite参数。

范数

在scipy.linalg中提供了函数norm用来求范数，其定义为

norm(a, ord=None, axis=None, keepdims=False, check_finite=True)

其中ord用于声明范数的阶

ord	矩阵范数	向量范数
None	弗罗贝尼乌斯范数	2-范数
'fro'	弗罗贝尼乌斯范数	-
'nuc'	核范数	-
inf	max(sum(abs(a), axis=1))	$\max (|a|)$
-inf	min(sum(abs(a), axis=1))	$\min (|a|)$
0	-	sum(a!=0)
1	max(sum(abs(a), axis=0))
-1	min(sum(abs(a), axis=0))
2	2-范数(最大奇异值)
-2	最小奇异值

若a为向量，若ord为非零整数，记作$n$，设$a_i$为矩阵$a$中的元素，则矩阵的$n$范数为

$$\Vert a{\Vert }_n=\sqrt[n]{\sum _i{a}_i^n}$$

核范数又称“迹范数” (trace norm)，表示矩阵的所有奇异值之和。

Frobenius范数可定义为

∥ a ∥ f = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 = trace ⁡ ( A T A ) = ∑ i = 1 min ⁡ { m , n } σ i 2 \Vert a\Vert_f=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum^n_{j=1}\vert a_{ij}\vert^2}=\sqrt{\operatorname{trace}(A^TA)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma_i^2} ∥a∥f​=i=1∑m​j=1∑n​∣aij​∣2 ​=trace(ATA) ​=i=1∑min{ m,n}​σi2​ ​

其实质是向量的2-范数在矩阵中的自然推广。

除了scipy.linalg之外，numpy.linalg中也提供了norm，其参数为

norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

其中order的可选参数与scipy.linalg中的norm函数相同。

行列式

在scipy.linalg中，行列式函数为det，其定义非常简单，除了待求矩阵a之外，就只有a的覆写开关和有限检查。

示例如下

import numpy as np
from scipy import linalg
a = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
linalg.det(a)
# 0.0
a = np.array([[0,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
linalg.det(a)
# 3.0

迹

scipy.linalg不提供trace函数，但是numpy提供，其定义为

umpy.trace(a, offset=0, axis1=0, axis2=1, dtype=None, out=None)

其中

• offset为偏移量，表示相对于主对角线的偏移
• axis1, axis2 表示坐标轴
• dtype 用于调整输出值的数据类型

>>> x = np.random.rand(3,3)
>>> print(x)
[[0.26832187 0.64615363 0.09006217]
 [0.63106319 0.65573765 0.35842304]
 [0.66629322 0.16999836 0.92357658]]
>>> np.trace(x)
1.8476361016546932