【计算方法】插值法多项式的求法--利用Lagrange插值和Newton插值

【说明】插值与拟合

在科学研究和工程中，许多问题都可以用y = f(x)来表示其某种内在规律的数量关系，不仅函数f(x)是各种各样的，而且有的函数很复杂，甚至没有明显的解析表达式
因此可以采用两种方法：插值法和拟合法，来求一个近似解。
其中插值法主要思想是 取n个点 pi = yi,然后找到一个简单函数p(x)近似f(x),使得p(xi) = f(xi);
而拟合法主要的思想是 |pi - yi| < exp；从而构造p(x)近似f(x)

【数学理论依据】

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <math.h>
    #include <string.h>
    #define N 5
    #define pi 3.1415926
    /*********************************************
    *求解差值多项式1.lagrange差值法
    *    2.newton差值法
    *
    *x 0 pi/6   pi/4   pi/3  pi/2
    *y  0 0.5     0.707104      0.866025   1
    *******************************************/
    typedef struct 
    {
     double x;
     double y;
    }ADT;

    /************************************************
    *拉格朗日插值法
    * 
    ************************************************/
    double Lagrange(double temp, ADT *point) 
    {
         double result = 0;
         int i = 0,j = 0;
         double t;
         for (i = 0; i < N; i++) {
          t = 1;
          for (j = 0; j < N; j++) {
           if (i != j) {
                t *= (temp - point[j].x) / (point[i].x - point[j].x); 
           }
          }
          result += t * point[i].y;
         }
         return result;
    }
    /********************************************************
    *牛顿插值法
    * 优点：
    *    利用一个滚动数组来保存值，减少存储空间
    *********************************************************/
    void show(ADT *p) 
    {
         for (int i = 0; i < N; i++) {
          printf("%10lf -- %10lf\n",p[i].x, p[i].y);
         }
         printf("over\n");
    }
    double Newton(double temp, ADT *point)
    {
         double ans = point[0].y;
         int i = 0, j = 0;
         double t = 1;
         //求解系
         for (i = 1; i < N; i++) {

              show(point);
              t *= (temp - point[i-1].x);
              printf("t = %lf \n",t); 
              for (j = 0; j < N - i; j++) 
              {
                    printf("(%10lf -%10lf) / (%10lf -%10lf) \n",
                        point[j + 1].y,point[j].y, point[i + j].x,point[j].x );
                    //每次计算对角线结果均保存在point[0].y中 
                    point[j].y = (point[j + 1].y - point[j].y) / (point[i + j].x - point[j].x) ; 
              }
              ans += (point[0].y * t);
         }   
         return ans;
    }

    int main() 
    {
         double temp = pi / 5;
        // int i,j;
         double result;
         printf("调用库函数的ans%4lf\n",sin(temp));
         //定义结构体数据
         ADT data[N] = { {0,0}, 
                         {pi/6, 0.5}, 
                         {pi/4, 0.707104}, 
                         {pi/3, 0.866025},
                         {pi/2,1 } };
         //调用函数
    //   result = Lagrange(temp, data);
    //   printf("answer = %4lf\n",result);
         printf("answer = %4lf\n",Newton(temp,data));
         return 0;

    }

利用牛顿差值法求解结果