Luogu3943 星空 题解 状压+差分

这道题的主要思路是差分+状压dp,不需要额外的毒瘤数据结构..
如果我们将原序列定义为暗灯的是1,亮灯为0,差分为数组\(book\),那么\(book\)中的1的个数一定是偶数个;
我们定义\(c_i\)为要使\(i\)个反转至少需要翻多少次(不可能则为\(INF\)),然后\(c\)数组可以用dp/递推预处理出来,
然后将原题转化成在差分数组中,每一次都可以选择两个距离为\(i\)的"1", 然后将他们以消耗\(c_i\)的代价变成0;
当然,可能对于两个值为1的位置\(c[i] == INF\)这样的话不能一次将2个1变为0,而是可以将另外的0变成1...
这个可以用状压DP来求解,设\(dp[S]\)为状态为\(S\)的时候最小需要翻的步数.
注意这里的S并不是表示的是差分数组每个位置的翻与否,而是表示的是位置为1的翻与否,0则是没有翻,而我们的目的是把这些是1的位置全都翻成0,所以最后的答案是将他们都翻:\(dp[(1<<cnt)-1]\).

具体细节看代码:

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 4e4 + 10;
const int MAXM = 64 + 10;
const int MAXK = 8 + 10;
int N, K, M;
int a[MAXN], b[MAXN], book[MAXN * 2], c[MAXN]; 
ll dp[(1 << 16) + 5];

int main() {
//  freopen("starlit.in","r",stdin);
//  freopen("starlit.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d%d", &N, &K, &M);
    for(int i = 1; i <= K; ++i)
        scanf("%d", a + i);
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
        scanf("%d", b + i);
    for(int i = 1; i <= K; ++i)
        book[a[i]] ^= 1,
        book[a[i] + 1] ^= 1;
    int cnt =  0;
    for(int i = 1; i <= N + 1; ++i)
        if(book[i]) a[++cnt] = i;
    memset(c, 127, sizeof c);
    c[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
        for(int j = b[i]; j <= N; ++j)
            c[j] = min(c[j], c[j - b[i]] + 1);
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
        for(int j = N - b[i]; j > 0; --j)
            c[j] = min(c[j], c[j + b[i]] + 1);
    int st, now;
    for(int i = 1; i <= (1 << cnt) - 1; ++i)
        dp[i] = 1e12;
    dp[0] = 0;
    for(int i = 0; i < (1 << cnt); ++i) {
        for(int j = 1; j <= cnt; ++j) {
            if((i & (1 << (j - 1))) == 0) {
                st = j;
                break;
            }
        }
        now = (i | (1 << (st - 1)));
        for(int j = 1; j <= cnt; ++j)
            if((i & (1 << (j - 1))) == 0 && j != st) {
                dp[now | (1 << (j-1))] = min(dp[now | (1 << (j-1))], dp[i] + c[a[j] - a[st]]);
            }
    }
    printf("%lld\n", dp[(1 << cnt) - 1]);
    return 0;
}

灵感来源于机房某位C姓长者,著作权并不为本人所有.禁止转载.
つづく.