因子和，因子数，1到n的因子和，1到n的因子数

1 - 求n的因子和
因子和函数σ定义为整数n的所有正因子之和，记为σ(n)  它是一个积性函数
首先对n进行因子分解 (因子分解代码附后)
n = p1^a1 * p2^a2 * ~~~ * px ^ ax


σ(n) =((p1^(a1+1)-1)/(p1-1) * ((p2^(a2+1)-1)/(p2-1) * .... * ((pj^(aj+1)-1)/(pj-1)) = Π(j=1 -> x) (pj^(aj+1)-1)/(pj-1)
    Π:表示乘积的符号


    举个例子： 12 = 2^2 * 3^1 = p1^a1 * p2^a2     (p1 = 2; a1 = 2; p2 = 3; a2 = 1)
    而 12的因子有 1 2 3 4 6 12
    1 = 2^0 * 3^0
    2 = 2^1 * 3^0
    3 = 2^0 * 3^1
    4 = 2^2 * 3^0
    6 = 2^1 * 3^1
    12 = 2^2 * 3^1
    左边加起来 = 1+2+3+4+6+12 =  28 = (2^0 + 2^1 + 2^2) * (3^0 + 3^1) = 右边


    (2^0 + 2^1 + 2^2)  是一个首项为1，公比为2的等比数列 
    (3^0 + 3^1) 是一个首项为1 ， 公比为3的等比数列 
    因为我们对n进行算数分解 所以不可能出现公比为1的情况
    根据等比数列求和公式  (1 - q^n) / (1-q)   
    分子分母同时乘-1    (q^n - 1) / (q - 1)
    因为第一项是从0开始的  所以 对于pi ^ ai 它的前n项和为 (pi^(ai+1) - 1) / (pi - 1)


    所以 σ(n) = Π(i=1 -> x) (pi^(ai+1)-1)/(pi-1) 
2 - 求n的因子个数
因子个数函数τ定义为正整数n的所有正因子个数，记为τ(n)


τ(n) = (b1+1) * (b2+1) * ... * (bs+1) = Π(i=1 -> s) (bi + 1)


举个例子~~~
首先还是对n进行因子分解
n = 12
则 12 = 2^2 * 3^1
// 12 的因子有 1 2 3 4 6 12 首先2对因子的贡献有3个 3对因子的贡献有2个 (这里有问题 有时间了在改)
所以 τ(n) = (b1+1) * (b2+1)

3 - 因子分解

	//n等于1的时候无法分解
	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	typedef long long LL;
	# define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
	int prime[100010]; // 存素数
	bool vis[100010];
	int numprime; // 素数表的个数
	void doprime(int n){
		mst(vis, 0);
		mst(prime, 0);
		for(int i = 2; i <= n; i++){
			if(!vis[i]){
				prime[numprime++] = i;
			}
			for(int j = 0; j <numprime && i *prime[j] <= n; j++){
				vis[i * prime[j]] = true;
				if(i % prime[j] == 0){
					break;
				}
			}
		}
	}
	LL a[1060]; /// 保存素因子
	int b[1060]; /// 保存素因子的个数
	int cnt;
	void suanshu(long long n)
	{
	    cnt=0;   /// 从0开始的
	    memset(a,0,sizeof(a));
	    memset(b,0,sizeof(b));
	    for(int i = 0; i < numprime && prime[i] * prime[i] <= n; i++)
	    {
	        if(n % prime[i] == 0)
	        {
	            a[cnt] = prime[i];
	            while(n % prime[i] == 0)
	            {
	                b[cnt]++;
	                n /= prime[i];
	            }
	            cnt++;
	        }
	    }
	    if(n!=1)
	    {
	        a[cnt] = n;
	        b[cnt++] = 1;
	    }
	}


	int main(){
	    doprime(100010);
	    int n;
	    while(cin>> n){
	        suanshu(n);
	        for(int i = 0; i < cnt; i++){
	            cout<<a[i]<<" ^ "<< b[i]<<" ";
	        }
	        cout<<endl;
	    }
	    return 0;
	}

3 - 求1到n的因子和的和

这个不好口述，尽量解释清楚
还是以12为例
则 i    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
因子    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
        2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2
        4 3 4 5 3
6 8 10 6
12
则 ans = σ(1)  + σ(2) + ---- + σ(12)
   = 12*1 + 6*2 + 4*3 +  3*4 + 2*5 + 2*6 +  1*7 + 1*8 + 1*9 + 1*10 + 1*11 + 1*12
   =  Σ(1 -> n) (n/i) * i     注： 这里的/ 是整除的意思
然后我们这样看
ans = 12*1 + 6*2 + 4*3 + 3*4 + 2*(5+6) + 1*(7+8+9+10+11+12)
则对于每一个 n/i 都有一个范围
n/i 范围[l, r]        当前n/i 在范围内 对ans的贡献是
12  [1,1]        12 * 1
6 [2,2] 6 * 2
4 [3,3] 4 * 3
3 [4,4] 3 * 4
2 [5,6] 2 * (5 + 6)
1   [7,12] 1 * (7 + 8 + --- + 12)      对于 7+--+8 等差数列求和 n(a1+an)/2


可以发现 每一个l等于上一个r+1 而r = n/(n/l)  (这里可能不好想-^-^-)
则代码。。。
LL x(LL n){
    LL ans = 0;
    LL r;
    for(LL l = 1; l <= n; l = r+1){
        r=  n / (n/l);
        ans += (l+r)*(r-l+1) * (n/l) ;
        //cout<<ans<<endl;
    }
    return ans;
}
x(n);
cout<< x(n)/2<< endl;   /// 这里我解释不清楚 很sb的wa了n次 看别人的代码改的
4 - 求1到n的因子个数的和


还是以12为例
i    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
因子个数    1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6
ans = τ(1) + τ(2) + τ(3) + τ(4)+ τ(5)+ τ(6)+ τ(7)+ τ(8)+ τ(9)+ τ(10)+ τ(11) + τ(12)
= 1 + 2 + 2 +3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 + 4 + 2 + 6
= 1 * 1 + 2 * 5 + 3 * 2 + 4 * 3 + 6 * 1
= Σ(1 -> n) (n/i)
代码：

// light oj 1245
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL X(LL n)
{
    LL l, r;
    LL ans = 0;
    for( l = 1; l <= n; l = r+1)
    {
        r = n/(n/l);
        ans += n/l * (r - l + 1);
    }
    return ans;
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    int Case =1;
    while(t--){
        LL x;
        cin>> x;
        printf("Case %d: %lld\n",Case++,X(x));
    }
}